📘 Związki Miarowe – Interaktywny Schemat
Kliknij na nagłówek, aby rozwinąć lub zwinąć sekcję. Wpisz liczby w pola, aby obliczyć wynik!
🔹 1. Dwusieczna w trójkącie
▼Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do pozostałych boków trójkąta.
Schemat kroków:
- Narysuj trójkąt i dwusieczną kąta.
- Oznacz boki i odcinki, na które dwusieczna dzieli bok.
- Zapisz proporcję zgodnie ze wzorem.
- Podstaw znane długości i rozwiąż równanie.
Interaktywny Przykład:
W trójkącie ABC, dwusieczna kąta C dzieli bok AB na odcinki AD i DB. Wpisz długości boków, aby znaleźć AD.
🔹 2. Pole trójkąta (różne wzory)
▼(a) Z użyciem wysokości
(b) Wzór Herona (gdy znamy 3 boki)
gdzie p = a+b+c2 (połowa obwodu)
(c) Z promieniem okręgu wpisanego (r)
gdzie p = a+b+c2 (połowa obwodu)
(d) Z promieniem okręgu opisanego (R)
🔹 3. Promienie okręgu wpisanego (r) i opisanego (R)
▼Promień okręgu wpisanego (r)
gdzie P to pole trójkąta, a p to połowa jego obwodu.
Promień okręgu opisanego (R)
gdzie a, b, c to boki, a P to pole trójkąta.
🔹 4. Wielokąty foremne
▼Kąt wewnętrzny
gdzie n to liczba boków.
Kąt środkowy
gdzie n to liczba boków.
📊 Podsumowanie Kluczowych Wzorów
- ✅ Dwusieczna → tworzy proporcje odcinków na przeciwległym boku.
- ✅ Pole trójkąta → można liczyć na wiele sposobów (z wysokością, wzorem Herona, z promieniami okręgów).
- ✅ Promienie r i R → wzory łączące pole, obwód i boki trójkąta.
- ✅ Wielokąty foremne → miary kątów zależą tylko od liczby boków (n).
📝 Przykładowe Zadania Maturalne z Rozwiązaniami
▼Zadanie 1: Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
Treść: Wskaż promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm.
Krok 1: Oblicz przeciwprostokątną (c).
Używamy twierdzenia Pitagorasa: a² + b² = c²
Krok 2: Oblicz pole (P) i połowę obwodu (p).
Pole trójkąta prostokątnego: P = a · b2. Połowa obwodu: p = a + b + c2.
Krok 3: Użyj wzoru na promień okręgu wpisanego.
Korzystamy ze wzoru: r = Pp (z sekcji 3).
Zadanie 2: Pole trójkąta o danych bokach
Treść: Ile wynosi pole trójkąta o bokach 4, 5, 7?
Krok 1: Oblicz połowę obwodu (p).
Krok 2: Użyj wzoru Herona.
Korzystamy ze wzoru: P = √[ p(p-a)(p-b)(p-c) ] (z sekcji 2b).
Krok 3: Uprość pierwiastek.
Zadanie 3: Twierdzenie o dwusiecznej
Treść: W trójkącie ABC o boku |AC| = 18, dwusieczna CD dzieli bok AB w stosunku |BD|:|DA| = 1:6. Wskaż długość boku CB.
Krok 1: Zapisz proporcję z twierdzenia o dwusiecznej.
Twierdzenie mówi, że: |CB||AC| = |BD||DA| (zgodnie z ideą z sekcji 1).
Krok 2: Rozwiąż równanie.
Mnożymy obie strony przez 18.