Opracowanie Zadań z Geometrii – Trójkąty
Poniżej przedstawiono typy zadań z trójkątów, wraz z opisem krok po kroku, jak je rozwiązywać, oraz wybranymi przykładami zadań z rozwiązaniami z udostępnionych zdjęć.
Typ Zadania 1: Obliczanie pola trójkąta (różne przypadki)
Krok po kroku:
- **Zidentyfikuj dane:** Sprawdź, co jest podane w zadaniu (długości boków, wysokość, kąt, promień okręgu wpisanego/opisanego).
- **Wybierz odpowiedni wzór na pole:**
- Jeśli znasz podstawę ‘a’ i wysokość ‘h’ opuszczoną na tę podstawę: P = (1/2) * a * h
- Jeśli znasz dwa boki ‘a’, ‘b’ i kąt ‘γ’ między nimi: P = (1/2) * a * b * sin(γ)
- Jeśli znasz wszystkie trzy boki ‘a’, ‘b’, ‘c’ (wzór Herona):
- Oblicz półobwód s = (a + b + c) / 2
- P = sqrt(s * (s – a) * (s – b) * (s – c))
- Jeśli znasz promień okręgu wpisanego ‘r’ i półobwód ‘s’: P = s * r
- Jeśli znasz boki ‘a’, ‘b’, ‘c’ i promień okręgu opisanego ‘R’: P = (a * b * c) / (4 * R)
- **Podstaw dane i oblicz.**
Przykładowe Zadanie (z rozwiązania):
Zadanie 7.94 (str. 207):
W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 32, a cosinus kąta przy podstawie jest równy 0,8. Oblicz:
a) pole trójkąta
b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie (a):
1. Oznaczmy boki trójkąta: podstawa a = 32. Ramiona b = c.
2. Wiemy, że cos(α) = 0.8, gdzie α to kąt przy podstawie.
3. Z jedynki trygonometrycznej sin^2(α) + cos^2(α) = 1 obliczamy sin(α) = sqrt(1 – 0.8^2) = sqrt(1 – 0.64) = sqrt(0.36) = 0.6.
4. Opuszczamy wysokość ‘h’ z wierzchołka na podstawę ‘a’. Wysokość ta dzieli podstawę na dwie równe części a/2 = 16.
5. W powstałym trójkącie prostokątnym mamy: cos(α) = (a/2) / b, czyli 0.8 = 16 / b. Stąd b = 16 / 0.8 = 20.
6. sin(α) = h / b, czyli 0.6 = h / 20. Stąd h = 12.
7. Pole trójkąta P = (1/2) * a * h = (1/2) * 32 * 12 = 16 * 12 = 192.
Odp: a) 192
Rozwiązanie (b):
1. Promień okręgu opisanego R obliczamy ze wzoru R = (a * b * c) / (4 * P).
2. Mamy a = 32, b = 20, c = 20, P = 192.
3. R = (32 * 20 * 20) / (4 * 192) = (32 * 400) / 768 = 12800 / 768 = 16.666… = 50/3.
Odp: b) 50/3
Typ Zadania 2: Obliczanie promieni okręgów wpisanych i opisanych
Krok po kroku:
- **Oblicz pole trójkąta (P) i półobwód (s):** Jeśli nie są podane, użyj metod z Typu Zadania 1.
- **Promień okręgu wpisanego (r):** Użyj wzoru r = P / s.
- **Promień okręgu opisanego (R):** Użyj wzoru R = (a * b * c) / (4 * P), gdzie ‘a’, ‘b’, ‘c’ to długości boków trójkąta.
- **Dla trójkąta prostokątnego:**
- r = (a + b – c) / 2, gdzie ‘a’, ‘b’ to przyprostokątne, ‘c’ to przeciwprostokątna.
- R = c / 2 (promień okręgu opisanego jest połową przeciwprostokątnej).
- **Podstaw dane i oblicz.**
Przykładowe Zadanie (z rozwiązania):
Zadanie 7.98 (str. 208):
Dwa boki trójkąta ostrokątnego mają długość 8 i 3, a jego pole jest równe 6√3. Oblicz:
c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie,
d) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Rozwiązanie (c):
1. Dane: a = 8, b = 3, P = 6√3.
2. Znamy wzór na promień okręgu opisanego R = (a * b * c) / (4 * P). Brakuje nam boku ‘c’.
3. Użyjmy wzoru na pole z sinusem: P = (1/2) * a * b * sin(γ), gdzie γ to kąt między bokami ‘a’ i ‘b’.
4. 6√3 = (1/2) * 8 * 3 * sin(γ)
5. 6√3 = 12 * sin(γ)
6. sin(γ) = (6√3) / 12 = √3 / 2. Zatem γ = 60° (ponieważ trójkąt jest ostrokątny).
7. Teraz użyjmy twierdzenia cosinusów do obliczenia boku ‘c’: c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos(γ).
8. c^2 = 8^2 + 3^2 – 2 * 8 * 3 * cos(60°)
9. c^2 = 64 + 9 – 48 * (1/2) = 73 – 24 = 49.
10. c = 7.
11. Teraz możemy obliczyć R: R = (8 * 3 * 7) / (4 * 6√3) = 168 / (24√3) = 7 / √3 = (7√3) / 3.
Odp: c) (7√3) / 3
Rozwiązanie (d):
1. Do obliczenia promienia okręgu wpisanego ‘r’ potrzebujemy półobwodu ‘s’.
2. s = (a + b + c) / 2 = (8 + 3 + 7) / 2 = 18 / 2 = 9.
3. r = P / s = (6√3) / 9 = (2√3) / 3.
Odp: d) (2√3) / 3
Typ Zadania 3: Obliczanie kątów, boków, wysokości w trójkątach (różne)
Krok po kroku:
- **Narysuj trójkąt:** Oznacz wszystkie dane i szukane wielkości.
- **Zastosuj odpowiednie twierdzenie/wzór:**
- **Twierdzenie Pitagorasa** (dla trójkątów prostokątnych): a^2 + b^2 = c^2.
- **Funkcje trygonometryczne** (sin, cos, tg, ctg) w trójkącie prostokątnym.
- **Twierdzenie sinusów:** a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R.
- **Twierdzenie cosinusów:** c^2 = a^2 + b^2 – 2ab * cos(γ) (i analogiczne dla innych boków).
- **Właściwości trójkątów:**
- Suma kątów w trójkącie wynosi 180°.
- W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
- W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają 60°.
- **Wzory na wysokości:** h = (2P) / a.
- **Ułóż równania i rozwiąż je.**
Przykładowe Zadanie (z rozwiązania):
Zadanie 7.97 (str. 207):
Dwa boki trójkąta ostrokątnego mają długość 17 cm i 25 cm, a jego pole jest równe 210 cm^2. Oblicz:
b) sinus kąta między ramionami trójkąta,
c) długość trzeciego boku,
d) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Rozwiązanie (b):
1. Dane: a = 17, b = 25, P = 210.
2. Wzór na pole z sinusem: P = (1/2) * a * b * sin(γ).
3. 210 = (1/2) * 17 * 25 * sin(γ)
4. 210 = (1/2) * 425 * sin(γ)
5. 420 = 425 * sin(γ)
6. sin(γ) = 420 / 425 = 84 / 85.
Odp: b) 84/85
Rozwiązanie (c):
1. Z jedynki trygonometrycznej: cos^2(γ) = 1 – sin^2(γ) = 1 – (84/85)^2 = 1 – 7056/7225 = (7225 – 7056) / 7225 = 169/7225.
2. cos(γ) = sqrt(169/7225) = 13/85 (ponieważ trójkąt jest ostrokątny, cosinus jest dodatni).
3. Twierdzenie cosinusów dla trzeciego boku ‘c’: c^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * b * cos(γ).
4. c^2 = 17^2 + 25^2 – 2 * 17 * 25 * (13/85)
5. c^2 = 289 + 625 – 850 * (13/85) = 914 – 10 * 13 = 914 – 130 = 784.
6. c = sqrt(784) = 28.
Odp: c) 28
Rozwiązanie (d):
1. Promień okręgu opisanego R = (a * b * c) / (4 * P).
2. R = (17 * 25 * 28) / (4 * 210) = 11900 / 840 = 1190 / 84 = 170 / 12 = 85 / 6.
Odp: d) 85/6
Typ Zadania 4: Zadania z trójkątami prostokątnymi
Krok po kroku:
- **Narysuj trójkąt prostokątny:** Oznacz przyprostokątne (a, b) i przeciwprostokątną (c).
- **Zastosuj Twierdzenie Pitagorasa:** a^2 + b^2 = c^2.
- **Użyj funkcji trygonometrycznych:**
- sin(kąta) = przyprostokątna_naprzeciw / przeciwprostokątna
- cos(kąta) = przyprostokątna_przy / przeciwprostokątna
- tg(kąta) = przyprostokątna_naprzeciw / przyprostokątna_przy
- **Wzory na promienie (dla trójkąta prostokątnego):**
- Promień okręgu wpisanego r = (a + b – c) / 2.
- Promień okręgu opisanego R = c / 2.
- **Oblicz pole:** P = (1/2) * a * b (przyprostokątne jako podstawa i wysokość).
Przykładowe Zadanie (z rozwiązania):
Zadanie 7.105 (str. 208):
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
Rozwiązanie:
1. Dane: c = 25 (przeciwprostokątna), r = 3 (promień okręgu wpisanego).
2. Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny: r = (a + b – c) / 2.
3. Podstawiamy dane: 3 = (a + b – 25) / 2.
4. 6 = a + b – 25.
5. Zatem a + b = 31.
6. Z Twierdzenia Pitagorasa: a^2 + b^2 = c^2 = 25^2 = 625.
7. Mamy układ równań:
a + b = 31 (1)
a^2 + b^2 = 625 (2)
8. Z (1) wyznaczamy b = 31 – a i podstawiamy do (2):
a^2 + (31 – a)^2 = 625
a^2 + 961 – 62a + a^2 = 625
2a^2 – 62a + 961 – 625 = 0
2a^2 – 62a + 336 = 0
a^2 – 31a + 168 = 0 (dzielimy przez 2)
9. Obliczamy deltę: Δ = (-31)^2 – 4 * 1 * 168 = 961 – 672 = 289.
10. sqrt(Δ) = 17.
11. Rozwiązania dla ‘a’:
a1 = (31 – 17) / 2 = 14 / 2 = 7
a2 = (31 + 17) / 2 = 48 / 2 = 24
12. Jeśli a = 7, to b = 31 – 7 = 24. Jeśli a = 24, to b = 31 – 24 = 7.
Przyprostokątne mają długości 7 cm i 24 cm.
13. Obliczamy pole trójkąta: P = (1/2) * a * b = (1/2) * 7 * 24 = 7 * 12 = 84.
Odp: Pole trójkąta wynosi 84 cm^2.
Typ Zadania 5: Zadania z wysokościami i podziałem boku
Krok po kroku:
- **Narysuj trójkąt i wysokość:** Wysokość dzieli trójkąt na dwa mniejsze trójkąty (często prostokątne).
- **Zastosuj Twierdzenie Pitagorasa:** W każdym z powstałych trójkątów prostokątnych.
- **Użyj funkcji trygonometrycznych:** Jeśli znasz kąty.
- **Wyprowadź zależności:** Stwórz układ równań bazując na związkach między bokami, wysokością i segmentami podstawy.
- **Oblicz pole:** Jeśli potrzebne, po obliczeniu wysokości i podstawy.
Przykładowe Zadanie (z rozwiązania):
Zadanie 7.104 (str. 208):
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 8 cm i 6 cm. Przez wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą, która podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz:
a) pola powstałych trójkątów,
b) stosunek promieni okręgów wpisanych w te trójkąty.
Rozwiązanie (a – pola):
1. Przyprostokątne: a = 6, b = 8. (Załóżmy, że a i b to przyprostokątne).
2. Przeciwprostokątna c = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10.
3. Pole całego trójkąta P_ABC = (1/2) * 6 * 8 = 24 cm^2.
4. Prosta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na dwie części (nazwijmy je x i y). Powstają dwa trójkąty, np. ADC i BDC, gdzie D leży na przeciwprostokątnej AB.
5. Oznaczmy długość tej prostej jako ‘d’. Obwody tych trójkątów są równe.
Obwód ADC = a + x + d = 6 + x + d
Obwód BDC = b + y + d = 8 + y + d
Ponieważ obwody są równe: 6 + x + d = 8 + y + d. Stąd 6 + x = 8 + y, czyli x – y = 2.
6. Wiemy, że x + y = c = 10.
7. Mamy układ równań:
x – y = 2
x + y = 10
Dodając równania stronami: 2x = 12, więc x = 6.
Podstawiając x: 6 + y = 10, więc y = 4.
8. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną (h_c): P_ABC = (1/2) * c * h_c => 24 = (1/2) * 10 * h_c => h_c = 4.8.
9. Pole trójkąta ADC = (1/2) * x * h_c = (1/2) * 6 * 4.8 = 14.4 cm^2.
10. Pole trójkąta BDC = (1/2) * y * h_c = (1/2) * 4 * 4.8 = 9.6 cm^2.
Odp: a) Pola wynoszą 14.4 cm^2 i 9.6 cm^2.
Rozwiązanie (b – stosunek promieni):
1. Do obliczenia promieni okręgów wpisanych potrzebujemy półobwodów i pól (które już mamy).
2. Długość ‘d’ (prosta dzieląca obwody): W trójkącie prostokątnym z przyprostokątną ‘a’ i ‘d’, oraz odcinkiem ‘x’ na przeciwprostokątnej (np. z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta z wysokością lub z twierdzenia cosinusów).
Wysokość h_c = 4.8. Odcinki na przeciwprostokątnej od wierzchołka C do punktu D to x = 6 i y = 4. Jeśli D to punkt na przeciwprostokątnej. Musimy znaleźć długość odcinka CD. To nie jest wysokość. Prosta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną, która dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach, to niekoniecznie wysokość czy środkowa.
Ten podział jest bardziej złożony. Skoro obwody są równe: a + AD + CD = b + BD + CD. Niech prosta będzie CD, gdzie D leży na AB. Wtedy obwody to AC + CD + AD oraz BC + CD + BD. Wiemy, że AC = 6, BC = 8. Zatem 6 + AD = 8 + BD. Czyli AD – BD = 2. Dodatkowo AD + BD = AB = 10. Rozwiązując układ: AD = 6, BD = 4.
3. Teraz potrzebujemy długości odcinka CD. Możemy to zrobić, znając boki 6, 6, 10 dla trójkąta ACD i 8, 4, 10 dla trójkąta BCD. Jednak to nie jest trójkąt, gdzie 10 to bok, a 6 to bok. AC = 6, AD = 6, BC = 8, BD = 4. Trójkąt ADC ma boki: AC=6, AD=6 i odcinek CD. Trójkąt BDC ma boki: BC=8, BD=4 i od
