1. Rozpoznaj

Mamy dane współrzędne wierzchołków. Musimy najpierw obliczyć długości wszystkich boków (SSS), a następnie z twierdzenia cosinusów wyznaczyć kąty.

2. Wybierz Wzór

Wzór na odległość: \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).

Twierdzenie cosinusów: \(\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\).

3. Podstaw i Policz (Boki)

\[c = |AB| = \sqrt{(2 – (-6))^2 + (1 – (-3))^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80}\] \[a = |BC| = \sqrt{(-1 – 2)^2 + (9 – 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 8^2} = \sqrt{73}\] \[b = |CA| = \sqrt{(-6 – (-1))^2 + (-3 – 9)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13\]

4. Policz (Kąty)

\[\cos\alpha = \frac{13^2 + (\sqrt{80})^2 – (\sqrt{73})^2}{2 \cdot 13 \cdot \sqrt{80}} = \frac{169 + 80 – 73}{26\sqrt{80}} \approx 0.757 \Rightarrow \alpha \approx 40.8^\circ\] \[\cos\beta = \frac{(\sqrt{73})^2 + (\sqrt{80})^2 – 13^2}{2 \cdot \sqrt{73} \cdot \sqrt{80}} = \frac{73 + 80 – 169}{2\sqrt{5840}} \approx -0.105 \Rightarrow \beta \approx 96.0^\circ\] \[\gamma = 180^\circ – 40.8^\circ – 96.0^\circ \approx 43.2^\circ\]

1. Rozpoznaj

Suma kątów w trójkącie to \(180^\circ\). Jeśli suma dwóch mniejszych to \(45^\circ\), to trzeci, największy kąt \(\gamma\), ma miarę \(180^\circ – 45^\circ = 135^\circ\). Ten kąt jest zawarty między dwoma krótszymi bokami (SAS).

2. Wybierz Wzór

Twierdzenie cosinusów (C1): \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos\gamma\)

3. Podstaw

Oznaczamy: \(a=3\sqrt{2}\), \(b=6\), \(\gamma=135^\circ\).

\[c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 6^2 – 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 6 \cdot \cos(135^\circ)\]

4. Policz

Wartość \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

\[c^2 = 18 + 36 – 36\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\] \[c^2 = 54 + \frac{36 \cdot 2}{2} = 54 + 36 = 90\] \[c = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}\]

1. Rozpoznaj

Warunek \(\alpha < \beta < \gamma\) oznacza, że \(a < b < c\), więc \(a=5, b=6, c=7\). Wyrażenie \(\frac{S}{C}\) upraszcza się do \(\frac{\sin\alpha \cdot \cos\gamma}{\sin\gamma \cdot \cos\alpha}\). Stosunek sinusów znajdziemy z tw. sinusów, a cosinusy z tw. cosinusów.

2. Wybierz Wzór

Twierdzenie sinusów: \(\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} = \frac{a}{c}\)

Twierdzenie cosinusów: \(\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) i \(\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

3. Podstaw i Policz

Stosunek sinusów:

\[\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} = \frac{5}{7}\]

Cosinusy:

\[\cos\alpha = \frac{6^2+7^2-5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36+49-25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}\] \[\cos\gamma = \frac{5^2+6^2-7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25+36-49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}\]

4. Oblicz \(\frac{S}{C}\)

\[ \frac{S}{C} = \frac{\sin\alpha/\sin\gamma}{\cos\alpha/\cos\gamma} = \frac{5/7}{ (5/7) / (1/5) } = \frac{5/7}{25/7} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \]

Alternatywnie: \( \frac{S}{C} = \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} \cdot \frac{\cos\gamma}{\cos\alpha} = \frac{5}{7} \cdot \frac{1/5}{5/7} = \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{5} = \frac{1}{5} \)

1. Rozpoznaj

Użyjemy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa. Porównujemy sumę kwadratów dwóch krótszych boków (\(a^2+b^2\)) z kwadratem najdłuższego boku (\(c^2\)).

2. Wybierz Wzór

Sprawdzamy nierówność: \(a^2 + b^2 \ ? \ c^2\)

• Jeśli \(a^2+b^2 < c^2\), trójkąt jest rozwartokątny.
• Jeśli \(a^2+b^2 > c^2\), trójkąt jest ostrokątny.

3. Podstaw i Policz (a)

Boki: \(a=5, b=7, c=11\).

\[a^2+b^2 = 5^2+7^2 = 25+49 = 74\] \[c^2 = 11^2 = 121\]

Ponieważ \(74 < 121\), czyli \(a^2+b^2 < c^2\), trójkąt jest rozwartokątny.

4. Podstaw i Policz (b)

Boki: \(a=\sqrt{5}, b=\sqrt{7}, c=\sqrt{11}\).

\[a^2+b^2 = (\sqrt{5})^2+(\sqrt{7})^2 = 5+7 = 12\] \[c^2 = (\sqrt{11})^2 = 11\]

Ponieważ \(12 > 11\), czyli \(a^2+b^2 > c^2\), trójkąt jest ostokątny.

1. Rozpoznaj

Boki trójkąta to cięciwy okręgu. Ich długość zależy od kąta środkowego, na którym są oparte. Kąt środkowy dla jednego boku 12-kąta wynosi \(360^\circ/12 = 30^\circ\).

2. Wybierz Wzór

Długość cięciwy: \(d = 2R\sin(\frac{\theta}{2})\), gdzie \(R=11\), a \(\theta\) to kąt środkowy.

3. Policz Kąty Środkowe

Bok \(|A_3A_7|\) opiera się na \(7-3=4\) bokach 12-kąta. \(\theta_1 = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ\).

Bok \(|A_7A_{10}|\) opiera się na \(10-7=3\) bokach 12-kąta. \(\theta_2 = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\).

Bok \(|A_{10}A_3|\) opiera się na \(12-10+3=5\) bokach 12-kąta. \(\theta_3 = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ\).

4. Policz Długości Boków i Obwód

\[|A_3A_7| = 2 \cdot 11 \cdot \sin(\frac{120^\circ}{2}) = 22\sin(60^\circ) = 22 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 11\sqrt{3}\] \[|A_7A_{10}| = 2 \cdot 11 \cdot \sin(\frac{90^\circ}{2}) = 22\sin(45^\circ) = 22 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 11\sqrt{2}\] \[|A_{10}A_3| = 2 \cdot 11 \cdot \sin(\frac{150^\circ}{2}) = 22\sin(75^\circ) = 22 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = \frac{11(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}\]

Obwód \(L = 11\sqrt{3} + 11\sqrt{2} + \frac{11(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2} \approx 55.85\) cm.

1. Rozpoznaj

Odcinek CD to cewiana. Najprościej użyć twierdzenia Stewarta. Najpierw trzeba obliczyć długości odcinków AD i BD.

2. Wybierz Wzór

Podział odcinka: \(AD+BD=8\) i \(AD=4BD\).

Twierdzenie Stewarta: \(b^2 \cdot BD + a^2 \cdot AD = c(d^2 + AD \cdot BD)\), gdzie \(d=|CD|\).

3. Podstaw

Z podziału odcinka: \(4BD+BD=8 \Rightarrow 5BD=8 \Rightarrow BD=1.6\). Wtedy \(AD = 4 \cdot 1.6 = 6.4\).

\[6^2 \cdot (1.6) + 11^2 \cdot (6.4) = 8 \cdot (d^2 + (6.4) \cdot (1.6))\]

4. Policz

\[36 \cdot 1.6 + 121 \cdot 6.4 = 8(d^2 + 10.24)\] \[57.6 + 774.4 = 8d^2 + 81.92\] \[832 = 8d^2 + 81.92\] \[8d^2 = 750.08 \Rightarrow d^2 = 93.76\] \[d = \sqrt{93.76} \approx 9.683\]

1. Rozpoznaj

Mamy dane dwa boki i kąt między nimi (SAS). Użyjemy tw. cosinusów do znalezienia trzeciego boku, a potem tw. sinusów dla reszty kątów.

2. Wybierz Wzór

Tw. cosinusów: \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\gamma\)

Tw. sinusów: \(\frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\)

3. Policz bok c

Niech \(a=2\sqrt{3}+2, b=4, \gamma=60^\circ\).

\[ c^2 = (2\sqrt{3}+2)^2 + 4^2 – 2 \cdot (2\sqrt{3}+2) \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ c^2 = (12+8\sqrt{3}+4) + 16 – 8(2\sqrt{3}+2) \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = (16+8\sqrt{3}) + 16 – (8\sqrt{3}+8) = 32+8\sqrt{3}-8\sqrt{3}-8 = 24 \] \[ c = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

4. Policz kąty

\[ \sin\beta = \frac{b \sin\gamma}{c} = \frac{4 \cdot \sin(60^\circ)}{2\sqrt{6}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Zatem \(\beta=45^\circ\).

Trzeci kąt \(\alpha = 180^\circ – 60^\circ – 45^\circ = 75^\circ\).

1. Rozpoznaj

Mamy dane wszystkie trzy boki (SSS). Użyjemy twierdzenia cosinusów, aby znaleźć kąty. Najlepiej zacząć od kąta naprzeciw najdłuższego boku (\(\sqrt{39} \approx 6.24\)).

2. Wybierz Wzór

\(\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

3. Policz kąt \(\gamma\)

Niech \(a=2, b=5, c=\sqrt{39}\).

\[ \cos\gamma = \frac{2^2+5^2-(\sqrt{39})^2}{2 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{4+25-39}{20} = \frac{-10}{20} = -0.5 \]

Ujemny cosinus oznacza kąt rozwarty. \(\gamma = 120^\circ\).

4. Policz pozostałe kąty

\[ \cos\alpha = \frac{5^2+(\sqrt{39})^2-2^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{39}} = \frac{25+39-4}{10\sqrt{39}} = \frac{60}{10\sqrt{39}} = \frac{6}{\sqrt{39}} \approx 0.96 \]

\(\alpha \approx 16.1^\circ\).

\(\beta = 180^\circ – 120^\circ – 16.1^\circ = 43.9^\circ\).

1. Rozpoznaj

Mamy sytuację SAS. Najpierw musimy znaleźć cosinus kąta na podstawie jego tangensa.

2. Wybierz Wzór

Związek trygonometryczny: \(\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\gamma}}\) (zakładając kąt ostry).

Twierdzenie cosinusów: \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\gamma\)

3. Policz cosinus

\(\tan\gamma = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\).

\[ \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{4}{3})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{9}}} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5} \]

4. Policz bok c

Niech \(a=14, b=15\).

\[ c^2 = 14^2 + 15^2 – 2 \cdot 14 \cdot 15 \cdot \frac{3}{5} \] \[ c^2 = 196 + 225 – 420 \cdot \frac{3}{5} = 421 – 252 = 169 \] \[ c = \sqrt{169} = 13 \]

1. Rozpoznaj

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy i tworzą cztery trójkąty. Boki równoległoboku można obliczyć z tw. cosinusów, stosując je do dwóch sąsiednich trójkątów.

2. Wybierz Wzór

Tw. cosinusów: \(bok^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 – 2 \frac{d_1}{2}\frac{d_2}{2}\cos\theta\)

3. Podstaw

Połowy przekątnych: \(\frac{d_1}{2} = 3\sqrt{2}\) oraz \(\frac{d_2}{2} = 7\). Kąty między nimi to \(45^\circ\) i \(180^\circ-45^\circ=135^\circ\).

Bok \(a\):

\[ a^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 – 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ) \]

Bok \(b\):

\[ b^2 = (3\sqrt{2})^2 + 7^2 – 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos(135^\circ) \]

4. Policz

Bok \(a\): (\(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\))

\[ a^2 = 18 + 49 – 42\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 67 – \frac{42 \cdot 2}{2} = 67 – 42 = 25 \Rightarrow a=5 \]

Bok \(b\): (\(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\))

\[ b^2 = 18 + 49 – 42\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 67 + 42 = 109 \Rightarrow b=\sqrt{109} \]

1. Rozpoznaj

Mamy sytuację SAS. Musimy obliczyć trzeci bok. Aby to zrobić, potrzebujemy cosinusa kąta, a mamy dany sinus. Po obliczeniu trzeciego boku porównamy go z dwoma danymi.

2. Wybierz Wzór

Jedynka trygonometryczna: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta}\)

Twierdzenie cosinusów: \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\theta\)

3. Policz cosinus

\(\sin\theta = 0.4\sqrt{6} = \frac{2}{5}\sqrt{6}\)

\[ \sin^2\theta = \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{4 \cdot 6}{25} = \frac{24}{25} \] \[ \cos^2\theta = 1 – \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \]

Ponieważ kąt jest ostry, \(\cos\theta = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} = 0.2\).

4. Policz trzeci bok i wykaż

Niech \(a=8, b=20\).

\[ c^2 = 8^2 + 20^2 – 2 \cdot 8 \cdot 20 \cdot (0.2) \] \[ c^2 = 64 + 400 – 320 \cdot (0.2) = 464 – 64 = 400 \] \[ c = \sqrt{400} = 20 \]

Trzeci bok ma długość 20. Jeden z podanych boków również ma długość 20. Ponieważ dwa boki trójkąta są równe (\(b=c=20\)), trójkąt jest równoramienny.

1. Rozpoznaj

Mamy dany bok \(c = 8\) i cosinus kąta \(\gamma\) leżącego naprzeciwko. Aby użyć twierdzenia sinusów do znalezienia promienia okręgu opisanego (R), potrzebujemy sinusa kąta \(\gamma\).

2. Wybierz Wzór

Jedynka trygonometryczna: \(\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1\)

Twierdzenie sinusów: \(\frac{c}{\sin\gamma} = 2R\)

Długość okręgu: \(L = 2\pi R\)

3. Policz sinus \(\gamma\)

\(\cos\gamma = 0.7\). Kąt w trójkącie może być ostry lub rozwarty, ale cosinus jest dodatni, więc \(\gamma\) jest kątem ostrym, a jego sinus jest dodatni.

\[ \sin^2\gamma = 1 – \cos^2\gamma = 1 – (0.7)^2 = 1 – 0.49 = 0.51 \] \[ \sin\gamma = \sqrt{0.51} \]

4. Policz promień R i długość okręgu L

\[ 2R = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{8}{\sqrt{0.51}} \]

Długość okręgu \(L = 2\pi R = \pi \cdot (2R)\).

\[ L = \frac{8\pi}{\sqrt{0.51}} \approx \frac{8 \cdot 3.14159}{0.714} \approx 35.48 \]

1. Rozpoznaj

Mamy dane dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich (SSA): \(b=4, a=6, \beta=25^\circ\). To jest tzw. przypadek niejednoznaczny, stąd możliwe dwa rozwiązania.

2. Wybierz Wzór

Twierdzenie sinusów: \(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}\)

3. Policz kąt \(\alpha\)

\[ \sin\alpha = \frac{a \sin\beta}{b} = \frac{6 \cdot \sin(25^\circ)}{4} \approx \frac{6 \cdot 0.4226}{4} \approx 0.6339 \]

Istnieją dwa kąty w przedziale \((0, 180^\circ)\) o takim sinusie:

Rozwiązanie 1: \(\alpha_1 = \arcsin(0.6339) \approx 39.34^\circ\)

Rozwiązanie 2: \(\alpha_2 = 180^\circ – 39.34^\circ = 140.66^\circ\)

4. Policz pozostałe wartości dla obu rozwiązań

1. Rozpoznaj

Z długości okręgu możemy obliczyć promień R. Mając bok \(c=|AB|\) i promień R, z tw. sinusów znajdziemy kąt \(\gamma\). Mając \(\gamma\) i zależność \(\beta = 2\alpha\), z sumy kątów w trójkącie znajdziemy \(\alpha\) i \(\beta\).

2. Wybierz Wzór

\(L=2\pi R\), \(\frac{c}{\sin\gamma}=2R\), \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\), \(\beta=2\alpha\)

3. Policz R i kąt \(\gamma\)

\(22\pi = 2\pi R \Rightarrow R=11\).

\[ \sin\gamma = \frac{c}{2R} = \frac{8}{2 \cdot 11} = \frac{8}{22} = \frac{4}{11} \approx 0.3636 \]

Są dwa możliwe kąty \(\gamma\): \(\gamma_1 \approx 21.32^\circ\) lub \(\gamma_2 \approx 180^\circ – 21.32^\circ = 158.68^\circ\). Sprawdzimy oba.

4. Policz \(\alpha\) i \(\beta\) dla obu przypadków

Mamy zależność: \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \Rightarrow \alpha + 2\alpha + \gamma = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha = 180^\circ – \gamma\).

1. Rozpoznaj

Zgodnie z twierdzeniem sinusów, stosunek sinusów kątów w trójkącie jest równy stosunkowi długości boków leżących naprzeciwko tych kątów.

2. Wybierz Wzór / Zależność

Twierdzenie sinusów: \(\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\), co implikuje \(\sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma = a:b:c\).

Nierówność trójkąta: suma długości dwóch dowolnych boków musi być większa od długości trzeciego boku.

3. Podstaw / Załóż

Jeśli \(\sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma = 2:5:8\), to boki tego hipotetycznego trójkąta musiałyby być w stosunku \(a:b:c = 2:5:8\).

Możemy przyjąć, że boki mają długości \(a=2k, b=5k, c=8k\) dla pewnej dodatniej stałej \(k\).

4. Sprawdź nierówność trójkąta

Sprawdzamy, czy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego:

\[ a + b > c \] \[ 2k + 5k > 8k \] \[ 7k > 8k \]

Ta nierówność jest fałszywa dla każdego \(k>0\). Ponieważ warunek nierówności trójkąta nie jest spełniony, taki trójkąt nie może istnieć.

1. Rozpoznaj

Mamy sytuację Bok-Kąt-Bok (SAS). Najpierw musimy znaleźć cosinus kąta na podstawie jego tangensa, a następnie użyć twierdzenia cosinusów.

2. Wybierz Wzór

Związek trygonometryczny: \(\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\gamma}}\) (bo \(\tan\gamma > 0\), więc kąt jest ostry).

Twierdzenie cosinusów: \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos\gamma\)

3. Policz cosinus

\(\tan\gamma = \frac{3}{4}\).

\[ \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{3}{4})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5} \]

4. Policz bok c

Niech \(a=6, b=10\).

\[ c^2 = 6^2 + 10^2 – 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5} \] \[ c^2 = 36 + 100 – 120 \cdot \frac{4}{5} = 136 – 96 = 40 \] \[ c = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10} \]

1. Rozpoznaj

Analogicznie do zadania 3. Jeśli suma dwóch mniejszych kątów to \(45^\circ\), to trzeci, największy kąt \(\gamma\), ma miarę \(180^\circ – 45^\circ = 135^\circ\). Kąt ten leży między dwoma krótszymi bokami (SAS).

2. Wybierz Wzór

Twierdzenie cosinusów: \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos\gamma\)

3. Podstaw

Oznaczamy: \(a=5\sqrt{2}\), \(b=10\), \(\gamma=135^\circ\).

\[c^2 = (5\sqrt{2})^2 + 10^2 – 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 10 \cdot \cos(135^\circ)\]

4. Policz

Wartość \(\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

\[c^2 = (25 \cdot 2) + 100 – 100\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\] \[c^2 = 50 + 100 + \frac{100 \cdot 2}{2} = 150 + 100 = 250\] \[c = \sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10}\]

1. Rozpoznaj

Analogicznie do zadania 4. Warunek na kąty oznacza, że boki to \(a=7, b=8, c=9\). Obliczymy S z tw. sinusów i C z tw. cosinusów.

2. Wybierz Wzór

\(\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} = \frac{a}{c}\)

\(\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) i \(\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

3. Podstaw i Policz S oraz C

\(S = \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} = \frac{a}{c} = \frac{7}{9}\)

\(\cos\alpha = \frac{8^2+9^2-7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64+81-49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}\)

\(\cos\gamma = \frac{7^2+8^2-9^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49+64-81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}\)

\(C = \frac{\cos\alpha}{\cos\gamma} = \frac{2/3}{2/7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{3}\)

4. Oblicz \(\frac{C}{S}\)

\[ \frac{C}{S} = \frac{7/3}{7/9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{7} = 3 \]

1. Rozpoznaj

Analogicznie do zadania 2. Najpierw liczymy długości boków (SSS) ze wzoru na odległość, a potem kąty z twierdzenia cosinusów.

2. Wybierz Wzór

\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) oraz \(\cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

3. Podstaw i Policz (Boki)

\[c = |AB| = \sqrt{(3 – (-2))^2 + (-2 – (-1))^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}\] \[a = |BC| = \sqrt{(-3 – 3)^2 + (6 – (-2))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\] \[b = |CA| = \sqrt{(-2 – (-3))^2 + (-1 – 6)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50}\]

4. Policz (Kąty)

Kąt \(\alpha\) naprzeciw boku a:

\[\cos\alpha = \frac{(\sqrt{50})^2 + (\sqrt{26})^2 – 10^2}{2 \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt{26}} = \frac{50 + 26 – 100}{2\sqrt{1300}} = \frac{-24}{20\sqrt{13}} = \frac{-6}{5\sqrt{13}} \approx -0.3328 \Rightarrow \alpha \approx 109.44^\circ\]

Kąt \(\beta\) naprzeciw boku b:

\[\cos\beta = \frac{10^2 + (\sqrt{26})^2 – (\sqrt{50})^2}{2 \cdot 10 \cdot \sqrt{26}} = \frac{100 + 26 – 50}{20\sqrt{26}} = \frac{76}{20\sqrt{26}} = \frac{19}{5\sqrt{26}} \approx 0.7443 \Rightarrow \beta \approx 41.90^\circ\]

Kąt \(\gamma\):

\[\gamma = 180^\circ – 109.44^\circ – 41.90^\circ \approx 28.66^\circ\]