Tygodniowy Plan Powtórek
Sprawdzian z Trygonometrii
Poniedziałek
Pole trójkąta i podstawowe wzory
Zadanie 2 (nowe)
W trójkącie ABC poprowadzono wysokość CD. Mamy: |AC| = 6, |BC| = 7, |AD| = 2. Oblicz długość boku AB tego trójkąta.
Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Oblicz długość wysokości CD.
Rozważmy trójkąt prostokątny ADC. Z twierdzenia Pitagorasa:
|CD|² + |AD|² = |AC|²
|CD|² + 2² = 6²
|CD|² + 4 = 36
|CD|² = 32 => |CD| = √32 = 4√2
Krok 2: Oblicz długość odcinka DB.
Teraz rozważmy trójkąt prostokątny BDC. Z twierdzenia Pitagorasa:
|CD|² + |DB|² = |BC|²
(4√2)² + |DB|² = 7²
32 + |DB|² = 49
|DB|² = 17 => |DB| = √17
Krok 3: Oblicz długość boku AB.
Zadanie ma dwa możliwe rozwiązania, w zależności od tego, czy kąt przy wierzchołku A jest ostry, czy rozwarty (czyli czy spodek wysokości D leży na boku AB, czy na jego przedłużeniu).
Przypadek 1: Kąt A jest ostry.
Punkt D leży między A i B. Wtedy |AB| = |AD| + |DB| = 2 + √17.
Przypadek 2: Kąt A jest rozwarty.
Punkt A leży między D i B. Wtedy |AB| = |DB| – |AD| = √17 – 2.
Odpowiedź: Długość boku AB wynosi 2 + √17 lub √17 – 2.
Zadanie 7
Jeden z boków trójkąta jest o 2 cm dłuższy od drugiego, a kąt między nimi ma miarę 60°. Trzeci bok ma długość 2√3 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
Zobacz rozwiązanie
Dane: a = b + 2, γ = 60°, c = 2√3
Krok 1: Użycie twierdzenia cosinusów. c² = a² + b² – 2ab cos(γ) => (2√3)² = (b+2)² + b² – 2(b+2)b * cos(60°) => 12 = b² + 4b + 4 + b² – (b²+2b) => b² + 2b – 8 = 0. Δ=36, b=2 (rozwiązanie ujemne odrzucamy). Zatem b=2 cm, a=4 cm.
Krok 2: Obliczenie pola. P = (1/2)ab sin(γ) = (1/2)*4*2*sin(60°) = 4*(√3/2) = 2√3.
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 2√3 cm².
Zadanie 10
Oblicz pole trójkąta ABC, w którym |AB| = 8, |AC| = 5, cos(∢ABC) = 7/8.
Zobacz rozwiązanie
Dane: c = 8, b = 5, cos(β) = 7/8.
Krok 1: Obliczenie sin(β). sin²(β) = 1 – cos²(β) = 1 – (49/64) = 15/64 => sin(β) = √15 / 8.
Uwaga: Treść jest nieprecyzyjna. Bardziej prawdopodobna interpretacja to ta, gdzie podany jest cosinus kąta między danymi bokami, czyli cos(∢BAC). Wtedy:
cos(α) = 7/8 => sin(α) = √15/8. Pole P = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(α) = (1/2) * 8 * 5 * (√15/8) = 5√15/2.
Rozwiązanie dla pierwotnej interpretacji: Używając tw. cosinusów (b² = a² + c² – 2ac cos(β)) znajdujemy dwie możliwe długości boku a: a₁=7-√10, a₂=7+√10. Następnie liczymy pole P=(1/2)ac sin(β) dla obu przypadków, otrzymując P₁=(7-√10)√15/2 i P₂=(7+√10)√15/2.
Wtorek
Twierdzenie Sinusów
Zadanie 48
Rozwiąż trójkąt ABC, w którym ∢CAB = 25°, ∢CBA = 35°, |AB| = 8.
Zobacz rozwiązanie
Dane: α = 25°, β = 35°, c = 8.
Krok 1: Oblicz trzeci kąt γ. γ = 180° – (25° + 35°) = 120°.
Krok 2: Użyj twierdzenia sinusów. a/sin(α) = c/sin(γ) => a = 8*sin(25°)/sin(120°) ≈ 3.88. Podobnie b/sin(β) = c/sin(γ) => b = 8*sin(35°)/sin(120°) ≈ 5.3.
Odpowiedź: a≈3.88, b≈5.3, c=8, α=25°, β=35°, γ=120°.
Zadanie 49
W trójkącie ABC mamy: |AB| = 8 cm i cos(∢ACB) = 0,7. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zobacz rozwiązanie
Dane: c = |AB| = 8, cos(γ) = 0.7.
Krok 1: Oblicz sin(γ). sin²(γ) = 1 – (0.7)² = 0.51 => sin(γ) = √0.51.
Krok 2: Użyj twierdzenia sinusów. c/sin(γ) = 2R => 8/√0.51 = 2R => R = 4/√0.51 ≈ 5.6.
Odpowiedź: Promień okręgu opisanego wynosi R ≈ 5.6 cm.
Środa
Twierdzenie Cosinusów
Zadanie 12
Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach 5, 9, 11.
Zobacz rozwiązanie
Dane: a=5, b=9, c=11.
Krok 1: Oblicz cos(α). cos(α) = (b²+c²-a²)/(2bc) = (81+121-25)/198 ≈ 0.8939 => α ≈ 26.6°.
Krok 2: Oblicz cos(β). cos(β) = (a²+c²-b²)/(2ac) = (25+121-81)/110 ≈ 0.5909 => β ≈ 53.8°.
Krok 3: Oblicz γ. γ = 180° – α – β ≈ 180° – 26.6° – 53.8° ≈ 99.6°.
Odpowiedź: Kąty trójkąta wynoszą ok. 26.6°, 53.8°, 99.6°.
Zadanie 13
Kąt ostry między bokami trójkąta o długości 8 cm i 4√10 cm ma miarę α taką, że sin(α) = 3 cos(α). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.
Zobacz rozwiązanie
Dane: a=8, b=4√10.
Krok 1: Znajdź cos(α). Z sin(α)=3cos(α) i jedynki trygonometrycznej: (3cos(α))²+cos²(α)=1 => 10cos²(α)=1 => cos(α)=1/√10 (kąt ostry).
Krok 2: Użyj tw. cosinusów. c²=a²+b²-2abcos(α) = 8²+(4√10)²-2*8*4√10*(1/√10) = 64+160-64 = 160.
c = √160 = 4√10.
Odpowiedź: Trzeci bok ma długość 4√10 cm (trójkąt jest równoramienny).
Czwartek
Funkcje trygonometryczne i tożsamości
Zadanie 16
Podaj przybliżoną miarę kąta ostrego α, gdy: a) sin(90° – α) = 0,2; b) cos(180° – α) = -0,3; c) tg(180° – α) = -0,4
Zobacz rozwiązanie
a) sin(90°-α) = cos(α) = 0,2 => α ≈ 78.5°.
b) cos(180°-α) = -cos(α) = -0,3 => cos(α) = 0,3 => α ≈ 72.5°.
c) tg(180°-α) = -tg(α) = -0,4 => tg(α) = 0,4 => α ≈ 21.8°.
Zadanie 17
Wykaż, że dla każdego kąta rozwartego α zachodzi równość sin(180° – α) = cos(α – 90°).
Zobacz rozwiązanie
Lewa strona: L = sin(180°-α) = sin(α) (ze wzorów redukcyjnych).
Prawa strona: P = cos(α-90°) = cos(-(90°-α)) = cos(90°-α) (parzystość cosinusa) = sin(α) (ze wzorów redukcyjnych).
Wniosek: L = P, co należało wykazać.
Piątek
Zadania z wielokątami i na dowodzenie
Zadanie 4 (nowe)
Wszystkie wierzchołki 18-kąta foremnego leżą na okręgu o promieniu 1. Przyjmij, że cos 20° = t i oblicz pole tego wielokąta.
Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Wzór na pole n-kąta foremnego.
Pole n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R można obliczyć jako sumę pól n trójkątów równoramiennych o ramionach R i kącie między nimi 360°/n.
P = n * (1/2) * R² * sin(360°/n)
Krok 2: Podstawienie danych.
n = 18, R = 1. Kąt = 360°/18 = 20°.
P = 18 * (1/2) * 1² * sin(20°) = 9 sin(20°)
Krok 3: Wyrażenie sin(20°) za pomocą t.
Mamy cos(20°) = t. Z jedynki trygonometrycznej: sin²(20°) + cos²(20°) = 1.
sin²(20°) + t² = 1 => sin²(20°) = 1 – t².
Ponieważ 20° jest kątem ostrym, sin(20°) jest dodatni, więc sin(20°) = √(1-t²).
Krok 4: Ostateczne pole.
P = 9 * sin(20°) = 9√(1-t²)
Odpowiedź: Pole tego wielokąta wynosi 9√(1-t²).
Zadanie 14
W trójkącie ABC mamy: |AB| = 10, |AC| = 30, ∢BAC = 60°. Wykaż, że obwód tego trójkąta jest większy od 66.
Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Oblicz bok a (BC) z tw. cosinusów. a² = 30²+10²-2*30*10*cos(60°) = 900+100-300 = 700. a = √700 = 10√7.
Krok 2: Oblicz obwód. Obwód = 10+30+10√7 = 40+10√7.
Krok 3: Porównaj z 66. 40+10√7 > 66 <=> 10√7 > 26 <=> √7 > 2,6. Podnosząc do kwadratu: 7 > 6,76. Nierówność jest prawdziwa.
Zadanie 45
Przekątne równoległoboku mają długość 8√2 cm i 12 cm, a kąt między nimi ma miarę 45°. Oblicz długość boków tego równoległoboku.
Zobacz rozwiązanie
Przekątne dzielą się na połowy (4√2 i 6). Użyj tw. cosinusów dla trójkąta o bokach 4√2, 6 i kącie 45° by znaleźć bok ‘a’, oraz dla kąta 135° by znaleźć bok ‘b’.
a² = (4√2)²+6²-2*4√2*6*cos(45°) = 32+36-48=20 => a=2√5.
b² = (4√2)²+6²-2*4√2*6*cos(135°) = 32+36+48=116 => b=2√29.
Odpowiedź: Boki mają długość 2√5 cm i 2√29 cm.
Sobota
Powtórka ogólna i twierdzenie o dwusiecznej
Zadanie 19 (nowe)
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 1, a druga 3. Dwusieczna kąta między dwoma najdłuższymi bokami dzieli najkrótszy bok na dwie części. Podaj długość krótszej z tych części.
Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Znajdź długości wszystkich boków.
Przyprostokątne a=1, b=3. Przeciwprostokątna c = √(1²+3²) = √10.
Boki mają długości: 1, 3, √10. (√10 ≈ 3.16).
Dwa najdłuższe boki to 3 i √10. Najkrótszy bok to 1.
Krok 2: Zastosuj twierdzenie o dwusiecznej.
Dwusieczna kąta między bokami o długości 3 i √10 dzieli bok o długości 1 na dwa odcinki, x i y (x+y=1).
Z twierdzenia o dwusiecznej, stosunek tych odcinków jest równy stosunkowi pozostałych boków:
x/y = 3/√10
Krok 3: Rozwiąż układ równań.
Z pierwszego równania: x = (3/√10)y. Podstawiamy do drugiego: (3/√10)y + y = 1.
y * (3/√10 + 1) = 1 => y * ((3+√10)/√10) = 1 => y = √10/(3+√10).
Usuwamy niewymierność: y = √10(3-√10) / ((3+√10)(3-√10)) = (3√10-10)/(9-10) = 10 – 3√10.
x = 1 – y = 1 – (10 – 3√10) = 3√10 – 9.
Krok 4: Porównaj długości.
Musimy sprawdzić, która wartość jest mniejsza. 9 < (3√10)²=90, ale 9²=81. 3√10 > 9. Stąd 3√10 – 9 jest dodatnie. Porównajmy 3√10 – 9 z 10 – 3√10. 3√10-9 < 10-3√10 <=> 6√10 < 19 <=> 36*10 < 361 <=> 360 < 361. Nierówność jest prawdziwa.
Odpowiedź: Długość krótszej części wynosi 3√10 – 9.
Zadanie 18 (nowe)
Dany jest trójkąt ABC, w którym: |AB| = 11, |BC| = 7, |AC| = 5. Dwusieczne kątów BAC i ABC przecinają boki trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Oblicz długość łamanej EABD.
Zobacz rozwiązanie
Długość łamanej to |EA| + |AB| + |BD|.
Krok 1: Oblicz |BD|.
Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w D. Z tw. o dwusiecznej w trójkącie ABC:
|BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 11/5. Wiemy, że |BD|+|DC|=7.
5|BD|=11|DC| => 5|BD|=11(7-|BD|) => 16|BD|=77 => |BD| = 77/16.
Krok 2: Oblicz |AE|.
Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC w E. Z tw. o dwusiecznej w trójkącie ABC:
|AE|/|EC| = |AB|/|BC| = 11/7. Wiemy, że |AE|+|EC|=5.
7|AE|=11|EC| => 7|AE|=11(5-|AE|) => 18|AE|=55 => |AE|=55/18.
Krok 3: Oblicz długość łamanej.
Długość = |AE| + |AB| + |BD| = 55/18 + 11 + 77/16.
Sprowadzając do wspólnego mianownika (144):
= (55*8)/144 + (11*144)/144 + (77*9)/144 = (440 + 1584 + 693)/144 = 2717/144.
Odpowiedź: Długość łamanej EABD wynosi 2717/144 (czyli 18 i 125/144).
Zadanie 8
Boki trójkąta ABC mają długości |AB|=c=6, |BC|=a=11, |CA|=b=12. Odcinek CD jest środkową. Odcinek BE jest środkową w trójkącie BCD. Oblicz długość odcinka BE.
Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Oblicz długość środkowej CD. Ze wzoru na środkową: |CD|² = (2a²+2b²-c²)/4 = (2*11²+2*12²-6²)/4 = (242+288-36)/4 = 494/4. |CD|=√494/2.
Krok 2: Oblicz długość środkowej BE w trójkącie BCD. Boki trójkąta BCD to |BC|=11, |BD|=3, |CD|=√494/2. BE jest środkową opadającą na bok CD. |BE|²=(2|BC|²+2|BD|²-|CD|²)/4 = (2*11²+2*3²-(494/4))/4 = (242+18-123.5)/4 = 136.5/4 = 273/8.
Odpowiedź: |BE| = √(273/8).
Zadanie 65
Dany jest trapez prostokątny o wysokości 12 cm i przekątnych 13 cm i 20 cm. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w tym trapezie.
Zobacz rozwiązanie
Niech h=12, d₁=13, d₂=20. Z tw. Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych utworzonych przez wysokość i przekątne, liczymy podstawy: b=√(13²-12²)=5, a=√(20²-12²)=16.
Kąt ostry α jest w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych h=12 i (a-b)=11. Przeciwprostokątna c=√(12²+11²)=√265.
sin(α)=12/√265, cos(α)=11/√265, tg(α)=12/11, ctg(α)=11/12.
Niedziela
Ostateczne sprawdzenie wiedzy – rozwiąż pozostałe zadania samodzielnie!
Wykorzystaj ten dzień na przejrzenie wszystkich rozwiązanych zadań. Zastanów się, które sprawiły Ci najwięcej trudności. Spróbuj samodzielnie rozwiązać kilka losowych zadań z przesłanych zdjęć, aby utrwalić wiedzę. Powodzenia na sprawdzianie!
