Tygodniowy Plan Powtórek
Sprawdzian z Trygonometrii
Poniedziałek
Pole trójkąta i podstawowe wzory
Zadanie 7
Jeden z boków trójkąta jest o 2 cm dłuższy od drugiego, a kąt między nimi ma miarę 60°. Trzeci bok ma długość 2√3 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
Zobacz rozwiązanie
Dane:
- a, b, c – boki trójkąta
- a = b + 2
- γ = 60° (kąt między a i b)
- c = 2√3
Krok 1: Użycie twierdzenia cosinusów do znalezienia długości boków.
c² = a² + b² – 2ab cos(γ)
(2√3)² = (b+2)² + b² – 2(b+2)b * cos(60°)
12 = b² + 4b + 4 + b² – 2(b²+2b) * (1/2)
12 = 2b² + 4b + 4 – b² – 2b
b² + 2b – 8 = 0
Δ = 2² – 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36, √Δ = 6
b₁ = (-2-6)/2 = -4 (odrzucamy, długość boku musi być dodatnia)
b₂ = (-2+6)/2 = 2
Zatem b = 2 cm, a = 2 + 2 = 4 cm.
Krok 2: Obliczenie pola trójkąta.
P = (1/2) * a * b * sin(γ)
P = (1/2) * 4 * 2 * sin(60°)
P = 4 * (√3/2) = 2√3
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 2√3 cm².
Zadanie 10
Oblicz pole trójkąta ABC, w którym |AB| = 8, |AC| = 5, cos(∢ABC) = 7/8.
Zobacz rozwiązanie
Dane:
- |AB| = c = 8
- |AC| = b = 5
- cos(β) = 7/8 (gdzie β = ∢ABC)
Krok 1: Obliczenie sin(β) z jedynki trygonometrycznej.
sin²(β) + cos²(β) = 1
sin²(β) = 1 – (7/8)² = 1 – 49/64 = 15/64
sin(β) = √(15/64) = √15 / 8 (kąt w trójkącie jest < 180°, więc sinus jest dodatni)
Krok 2: Użycie twierdzenia cosinusów do znalezienia boku |BC|=a.
Najpierw musimy znaleźć cos(α), gdzie α = ∢BAC. Do tego potrzebujemy boku |BC|. Użyjmy tw. cosinusów dla boku b:
b² = a² + c² – 2ac cos(β)
5² = a² + 8² – 2*a*8*(7/8)
25 = a² + 64 – 14a
a² – 14a + 39 = 0
Δ = (-14)² – 4*1*39 = 196 – 156 = 40, √Δ = 2√10
a₁ = (14 – 2√10)/2 = 7-√10
a₂ = (14 + 2√10)/2 = 7+√10
Oba rozwiązania są dodatnie, więc istnieją dwa takie trójkąty.
Krok 3: Obliczenie pola trójkąta.
Pole można obliczyć używając boków ‘a’ i ‘c’ oraz kąta β między nimi.
P = (1/2) * a * c * sin(β)
Dla a₁ = 7-√10:
P₁ = (1/2) * (7-√10) * 8 * (√15/8) = (7-√10) * (√15/2)
Dla a₂ = 7+√10:
P₂ = (1/2) * (7+√10) * 8 * (√15/8) = (7+√10) * (√15/2)
Uwaga: Treść zadania jest nieco nieprecyzyjna. Jeśli kąt ∢ABC jest kątem między bokami AB i AC, to jest to kąt α. Wtedy:
P = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(α). Z cos(α) = 7/8 liczymy sin(α) = √15/8. Wtedy P = (1/2) * 8 * 5 * (√15/8) = 5√15/2. To jest bardziej prawdopodobna interpretacja.
Wtorek
Twierdzenie Sinusów
Zadanie 48
Rozwiąż trójkąt ABC, w którym ∢CAB = 25°, ∢CBA = 35°, |AB| = 8.
Zobacz rozwiązanie
Dane:
- α = 25°
- β = 35°
- c = 8
Krok 1: Oblicz trzeci kąt γ.
γ = 180° – (α + β) = 180° – (25° + 35°) = 180° – 60° = 120°
Krok 2: Użyj twierdzenia sinusów do znalezienia boków a i b.
a/sin(α) = c/sin(γ)
a = c * sin(α) / sin(γ) = 8 * sin(25°) / sin(120°)
sin(120°) = sin(180°-60°) = sin(60°) = √3/2
a = 8 * sin(25°) / (√3/2) ≈ 8 * 0.4226 / 0.866 ≈ 3.88
b/sin(β) = c/sin(γ)
b = c * sin(β) / sin(γ) = 8 * sin(35°) / sin(120°)
b = 8 * sin(35°) / (√3/2) ≈ 8 * 0.5736 / 0.866 ≈ 5.3
Odpowiedź: Boki i kąty trójkąta to: a≈3.88, b≈5.3, c=8, α=25°, β=35°, γ=120°.
Zadanie 49
W trójkącie ABC mamy: |AB| = 8 cm i cos(∢ACB) = 0,7. Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zobacz rozwiązanie
Dane:
- c = |AB| = 8
- cos(γ) = 0.7
Krok 1: Oblicz sin(γ) z jedynki trygonometrycznej.
sin²(γ) + cos²(γ) = 1
sin²(γ) = 1 – (0.7)² = 1 – 0.49 = 0.51
sin(γ) = √0.51
Krok 2: Użyj twierdzenia sinusów.
c/sin(γ) = 2R, gdzie R to promień okręgu opisanego.
8 / √0.51 = 2R
R = 4 / √0.51 = 4√0.51 / 0.51 ≈ 5.6
Odpowiedź: Długość promienia okręgu opisanego wynosi R ≈ 5.6 cm.
Środa
Twierdzenie Cosinusów
Zadanie 12
Wyznacz miary kątów trójkąta o bokach 5, 9, 11.
Zobacz rozwiązanie
Dane: a = 5, b = 9, c = 11
Krok 1: Oblicz cosinus kąta α (naprzeciw boku a).
a² = b² + c² – 2bc cos(α)
cos(α) = (b² + c² – a²) / (2bc)
cos(α) = (9² + 11² – 5²) / (2 * 9 * 11) = (81 + 121 – 25) / 198 = 177 / 198 ≈ 0.8939
α = arccos(0.8939) ≈ 26.6°
Krok 2: Oblicz cosinus kąta β (naprzeciw boku b).
b² = a² + c² – 2ac cos(β)
cos(β) = (a² + c² – b²) / (2ac)
cos(β) = (5² + 11² – 9²) / (2 * 5 * 11) = (25 + 121 – 81) / 110 = 65 / 110 ≈ 0.5909
β = arccos(0.5909) ≈ 53.8°
Krok 3: Oblicz trzeci kąt γ.
γ = 180° – α – β ≈ 180° – 26.6° – 53.8° ≈ 99.6°
Odpowiedź: Kąty trójkąta wynoszą w przybliżeniu 26.6°, 53.8° i 99.6°.
Zadanie 13
Kąt ostry między bokami trójkąta o długości 8 cm i 4√10 cm ma miarę α taką, że sin(α) = 3 cos(α). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.
Zobacz rozwiązanie
Dane: a = 8, b = 4√10
Krok 1: Znajdź wartości sin(α) i cos(α).
Mamy sin(α) = 3 cos(α). Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:
sin²(α) + cos²(α) = 1
(3 cos(α))² + cos²(α) = 1
9 cos²(α) + cos²(α) = 1
10 cos²(α) = 1 => cos²(α) = 1/10
Ponieważ kąt α jest ostry, cos(α) jest dodatni: cos(α) = 1/√10 = √10/10.
Krok 2: Użyj twierdzenia cosinusów do znalezienia trzeciego boku c.
c² = a² + b² – 2ab cos(α)
c² = 8² + (4√10)² – 2 * 8 * 4√10 * (√10/10)
c² = 64 + 160 – 64 * (10/10) = 224 – 64 = 160
c = √160 = √(16 * 10) = 4√10
Odpowiedź: Długość trzeciego boku wynosi 4√10 cm. Oznacza to, że trójkąt jest równoramienny.
Czwartek
Funkcje trygonometryczne i tożsamości
Zadanie 16
Podaj przybliżoną miarę kąta ostrego α, gdy:
a) sin(90° – α) = 0,2
b) cos(180° – α) = -0,3
c) tg(180° – α) = -0,4
Zobacz rozwiązanie
a) sin(90° – α) = 0,2
Ze wzorów redukcyjnych wiemy, że sin(90° – α) = cos(α). Więc cos(α) = 0,2.
α = arccos(0,2) ≈ 78.5°
b) cos(180° – α) = -0,3
Ze wzorów redukcyjnych: cos(180° – α) = -cos(α). Więc -cos(α) = -0,3, co daje cos(α) = 0,3.
α = arccos(0,3) ≈ 72.5°
c) tg(180° – α) = -0,4
Ze wzorów redukcyjnych: tg(180° – α) = -tg(α). Więc -tg(α) = -0,4, co daje tg(α) = 0,4.
α = arctg(0,4) ≈ 21.8°
Zadanie 17
Wykaż, że dla każdego kąta rozwartego α zachodzi równość sin(180° – α) = cos(α – 90°).
Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Uprość lewą stronę równania.
L = sin(180° – α)
Ze wzorów redukcyjnych, dla dowolnego kąta α, sin(180° – α) = sin(α).
Krok 2: Uprość prawą stronę równania.
P = cos(α – 90°)
Wiemy, że funkcja cosinus jest parzysta, czyli cos(x) = cos(-x). Zatem:
cos(α – 90°) = cos(-(90° – α)) = cos(90° – α)
Ze wzorów redukcyjnych, cos(90° – α) = sin(α).
Krok 3: Porównaj obie strony.
L = sin(α) i P = sin(α). Zatem L = P.
Równość jest prawdziwa dla każdego kąta α, w tym dla kąta rozwartego. Co należało wykazać.
Piątek
Zadania na dowodzenie i z czworokątami
Zadanie 14
W trójkącie ABC mamy: |AB| = 10, |AC| = 30, ∢BAC = 60°. Wykaż, że obwód tego trójkąta jest większy od 66.
Zobacz rozwiązanie
Dane: c = 10, b = 30, α = 60°
Krok 1: Oblicz długość trzeciego boku (a) używając twierdzenia cosinusów.
a² = b² + c² – 2bc cos(α)
a² = 30² + 10² – 2 * 30 * 10 * cos(60°)
a² = 900 + 100 – 600 * (1/2) = 1000 – 300 = 700
a = √700 = √(100 * 7) = 10√7
Krok 2: Oblicz obwód trójkąta.
Obwód = a + b + c = 10√7 + 30 + 10 = 40 + 10√7
Krok 3: Wykaż, że obwód jest większy od 66.
Musimy sprawdzić, czy 40 + 10√7 > 66.
10√7 > 26
√7 > 2,6
Podnosimy obie strony do kwadratu:
7 > 2,6²
7 > 6,76
Nierówność jest prawdziwa, zatem obwód trójkąta jest większy od 66. Co należało wykazać.
Zadanie 45
Przekątne równoległoboku mają długość 8√2 cm i 12 cm, a kąt między nimi ma miarę 45°. Oblicz długość boków tego równoległoboku.
Zobacz rozwiązanie
Dane:
- d₁ = 8√2
- d₂ = 12
- Kąt przecięcia przekątnych γ = 45°
Przekątne w równoległoboku dzielą się na połowy. Rozważmy trójkąt utworzony przez połowy przekątnych i bok ‘a’ równoległoboku. Boki tego trójkąta to 4√2, 6 i ‘a’, a kąt między bokami 4√2 i 6 wynosi 45°.
Krok 1: Oblicz bok ‘a’ z twierdzenia cosinusów.
a² = (4√2)² + 6² – 2*(4√2)*6*cos(45°)
a² = 32 + 36 – 48√2 * (√2/2)
a² = 68 – 48*2/2 = 68 – 48 = 20
a = √20 = 2√5
Krok 2: Oblicz bok ‘b’ z twierdzenia cosinusów.
Drugi trójkąt, z bokiem ‘b’, ma boki 4√2, 6, a kąt między nimi to 180° – 45° = 135°.
cos(135°) = cos(180°-45°) = -cos(45°) = -√2/2
b² = (4√2)² + 6² – 2*(4√2)*6*cos(135°)
b² = 32 + 36 – 48√2 * (-√2/2)
b² = 68 + 48*2/2 = 68 + 48 = 116
b = √116 = √(4*29) = 2√29
Odpowiedź: Boki równoległoboku mają długość 2√5 cm i 2√29 cm.
Sobota
Powtórka ogólna
Zadanie 8
Boki trójkąta ABC mają długości |AB|=c=6, |BC|=a=11, |CA|=b=12. Odcinek CD jest środkową w tym trójkącie, a odcinek BE jest środkową w trójkącie BCD. Oblicz długość odcnika BE.
Zobacz rozwiązanie
Krok 1: Oblicz długość środkowej CD.
Użyjemy wzoru na długość środkowej. Środkowa CD opada na bok c=|AB|=6. Punkt D jest środkiem AB, więc |AD|=3.
Wzór na długość środkowej m_c (tutaj |CD|):
|CD|² = (2a² + 2b² – c²) / 4
|CD|² = (2*11² + 2*12² – 6²) / 4 = (2*121 + 2*144 – 36) / 4
|CD|² = (242 + 288 – 36) / 4 = 494 / 4 = 247/2
|CD| = √(247/2)
Krok 2: Rozważ trójkąt BCD.
Boki tego trójkąta to: |BC|=11, |BD|=3, |CD|=√(247/2).
BE jest środkową w trójkącie BCD opadającą na bok CD. Punkt E jest środkiem CD.
Krok 3: Oblicz długość środkowej BE.
Użyjemy wzoru na długość środkowej w trójkącie BCD. Boki to |BC|, |BD|, |CD|. Środkowa BE opada na bok |CD|.
|BE|² = (2*|BC|² + 2*|BD|² – |CD|²) / 4
|BE|² = (2*11² + 2*3² – (√(247/2))²) / 4
|BE|² = (2*121 + 2*9 – 247/2) / 4 = (242 + 18 – 123.5) / 4
|BE|² = (260 – 123.5) / 4 = 136.5 / 4 = 273 / 8
|BE| = √(273/8) = √273 / (2√2)
Odpowiedź: Długość odcinka BE wynosi √(273/8).
Zadanie 65
Dany jest trapez prostokątny o wysokości 12 cm i przekątnych 13 cm i 20 cm. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w tym trapezie.
Zobacz rozwiązanie
Dane:
Niech trapez to ABCD, gdzie AD jest wysokością h=12. Kąty przy A i D są proste.
Przekątna AC=13, przekątna BD=20.
Krok 1: Oblicz podstawy trapezu.
W trójkącie prostokątnym ADC: |AD|² + |DC|² = |AC|²
12² + |DC|² = 13² => 144 + |DC|² = 169 => |DC|² = 25 => |DC| = 5. To jest krótsza podstawa ‘b’.
W trójkącie prostokątnym ABD: |AD|² + |AB|² = |BD|²
12² + |AB|² = 20² => 144 + |AB|² = 400 => |AB|² = 256 => |AB| = 16. To jest dłuższa podstawa ‘a’.
Krok 2: Znajdź boki trójkąta prostokątnego do obliczenia funkcji.
Poprowadźmy wysokość CE z wierzchołka C na podstawę AB. Powstaje prostokąt AECD, więc |AE|=|DC|=5. Wtedy |EB| = |AB| – |AE| = 16 – 5 = 11.
Wysokość |CE| = |AD| = 12.
Kąt ostry trapezu to kąt CBA (oznaczmy go α). Rozważamy trójkąt prostokątny CEB.
Jego boki to: przyprostokątna |CE|=12, przyprostokątna |EB|=11. Przeciwprostokątna to ramię |CB|.
|CB|² = |CE|² + |EB|² = 12² + 11² = 144 + 121 = 265 => |CB| = √265.
Krok 3: Oblicz funkcje trygonometryczne kąta α.
sin(α) = |CE| / |CB| = 12 / √265 = 12√265 / 265
cos(α) = |EB| / |CB| = 11 / √265 = 11√265 / 265
tg(α) = |CE| / |EB| = 12 / 11
ctg(α) = |EB| / |CE| = 11 / 12
Odpowiedź: sin(α) = 12/√265, cos(α) = 11/√265, tg(α) = 12/11, ctg(α) = 11/12.
Niedziela
Ostateczne sprawdzenie wiedzy – rozwiąż pozostałe zadania samodzielnie!
Wykorzystaj ten dzień na przejrzenie wszystkich rozwiązanych zadań. Zastanów się, które sprawiły Ci najwięcej trudności. Spróbuj samodzielnie rozwiązać kilka losowych zadań z przesłanych zdjęć, aby utrwalić wiedzę. Powodzenia na sprawdzianie!
