Interaktywny Trener Maturalny – Równania i Nierówności

Interaktywny Trener Maturalny

Równania i Nierówności – krok po kroku

Typ 1: Równanie Liniowe

Jak rozpoznać? W zadaniu występuje x w pierwszej potędze. Może być w nawiasach lub po obu stronach znaku równości.

Pokaż schemat rozwiązywania

Pozbądź się nawiasów: Wymnóż liczbę przed nawiasem przez każdy element w środku.
Uporządkuj: Przenieś niewiadome (x) na lewą stronę, a liczby na prawą. Pamiętaj o zmianie znaku przy przenoszeniu!
Zredukuj: Dodaj/odejmij wyrazy podobne po obu stronach.
Oblicz x: Podziel obie strony przez liczbę stojącą przy x.
Podaj odpowiedź.

Zadania do przećwiczenia

Zadanie 1.1: Rozwiąż równanie 3(2x – 1) + 1 = 2x + 10.

Krok 1: Wymnażamy nawias: 6x – 3 + 1 = 2x + 10

Krok 2: Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie: 6x – 2 = 2x + 10

Krok 3: Przenosimy niewiadome na lewo, liczby na prawo: 6x – 2x = 10 + 2

Krok 4: Redukujemy obie strony: 4x = 12

Krok 5: Dzielimy przez 4: x = 3

Zadanie 1.2: Rozwiąż równanie 7(x + 2) – x = 5(x – 2).

Krok 1: Wymnażamy nawiasy: 7x + 14 – x = 5x – 10

Krok 2: Redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie: 6x + 14 = 5x – 10

Krok 3: Przenosimy niewiadome na lewo, liczby na prawo: 6x – 5x = -10 – 14

Krok 4: Redukujemy obie strony: x = -24

Zadanie 1.3: Rozwiązaniem równania (x – 5) / 3 = x / 2 jest liczba:

Krok 1: Mnożymy “na krzyż”, aby pozbyć się ułamków: 2(x – 5) = 3x

Krok 2: Wymnażamy nawias: 2x – 10 = 3x

Krok 3: Przenosimy niewiadome na jedną stronę: -10 = 3x – 2x

Krok 4: Redukujemy: -10 = x

Krok 5: Zapisujemy poprawnie: x = -10

Typ 2: Nierówność Liniowa

Jak rozpoznać? Jak równanie liniowe, ale ze znakiem >, <, ≥, ≤.

Pokaż schemat rozwiązywania

Postępuj jak w równaniu liniowym (nawiasy, porządkowanie, redukcja).
WAŻNA ZASADA: Jeśli na końcu mnożysz lub dzielisz obie strony przez liczbę UJEMNĄ, musisz ODWRÓCIĆ ZNAK nierówności (np. z > na <).
Narysuj rozwiązanie na osi liczbowej.
Zapisz odpowiedź w postaci przedziału.

Zadania do przećwiczenia

Zadanie 2.1: Rozwiąż nierówność 2(x – 1) – 3(x – 2) ≤ 6.

Krok 1: Wymnażamy nawiasy: 2x – 2 – 3x + 6 ≤ 6

Krok 2: Redukujemy wyrazy po lewej stronie: -x + 4 ≤ 6

Krok 3: Przenosimy liczby na prawo: -x ≤ 6 – 4, czyli -x ≤ 2

Krok 4: Dzielimy przez -1 i zmieniamy znak: x ≥ -2

Krok 5: Zapisujemy przedział: x ∈ [-2, +∞)

Zadanie 2.2: Rozwiąż nierówność x/2 – x/3 > 1.

Krok 1: Aby pozbyć się ułamków, mnożymy całą nierówność przez wspólny mianownik (6): 6 * (x/2) – 6 * (x/3) > 6 * 1

Krok 2: Upraszczamy: 3x – 2x > 6

Krok 3: Redukujemy: x > 6

Krok 4: Zapisujemy przedział: x ∈ (6, +∞)

Zadanie 2.3: Wskaż najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność x – 2 ≤ 2x + 8.

Krok 1: Rozwiązujemy nierówność: x – 2x ≤ 8 + 2

Krok 2: Redukujemy: -x ≤ 10

Krok 3: Dzielimy przez -1 i zmieniamy znak: x ≥ -10

Krok 4: Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która jest większa lub równa -10. Tą liczbą jest -10.

Typ 3: Równanie Kwadratowe

Jak rozpoznać? W zadaniu występuje x². Postać ogólna to ax² + bx + c = 0.

Pokaż schemat rozwiązywania

Upewnij się, że po prawej stronie jest 0.
Wypisz współczynniki a, b, c.
Oblicz Deltę (Δ) ze wzoru: Δ = b² – 4ac.
Sprawdź, jaka jest Delta:
- Δ > 0: Dwa rozwiązania.
- Δ = 0: Jedno rozwiązanie.
- Δ < 0: Brak rozwiązań.
Jeśli Δ ≥ 0, oblicz pierwiastek z Delty (√Δ).
Oblicz rozwiązania x₁, x₂ ze wzorów.

Zadania do przećwiczenia

Zadanie 3.1: Rozwiąż równanie x² + 5x + 6 = 0.

Krok 1: a=1, b=5, c=6

Krok 2: Δ = 5² – 4*1*6 = 25 – 24 = 1

Krok 3: √Δ = 1

Krok 4: x₁ = (-5 – 1) / 2 = -3, x₂ = (-5 + 1) / 2 = -2

Odpowiedź: x = -3, x = -2

Zadanie 3.2: Rozwiąż równanie 2x² – 3x – 2 = 0.

Krok 1: a=2, b=-3, c=-2

Krok 2: Δ = (-3)² – 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25

Krok 3: √Δ = 5

Krok 4: x₁ = (3 – 5) / 4 = -2/4 = -0.5, x₂ = (3 + 5) / 4 = 8/4 = 2

Odpowiedź: x = -0.5, x = 2

Zadanie 3.3: Rozwiąż równanie -x² + 6x – 9 = 0.

Krok 1: a=-1, b=6, c=-9

Krok 2: Δ = 6² – 4*(-1)*(-9) = 36 – 36 = 0

Krok 3: Gdy Δ=0, jest jedno rozwiązanie ze wzoru x₀ = -b / 2a

Krok 4: x₀ = -6 / (2 * -1) = -6 / -2 = 3

Odpowiedź: x = 3

Typ 4: Nierówność Kwadratowa

Jak rozpoznać? Jest x² oraz znak >, <, ≥, ≤.

Pokaż schemat rozwiązywania

Upewnij się, że po prawej stronie jest 0.
Znajdź miejsca zerowe (policz x₁, x₂ jak w równaniu kwadratowym).
Naszkicuj parabolę:
- Jeśli a > 0, ramiona w górę.
- Jeśli a < 0, ramiona w dół.
- Zaznacz miejsca zerowe na osi.
Odczytaj rozwiązanie z rysunku (patrz, gdzie parabola jest nad/pod osią).
Zapisz odpowiedź w postaci przedziału.

Zadania do przećwiczenia

Zadanie 4.1: Rozwiąż nierówność x² – 3x – 10 ≤ 0.

Krok 1: Szukamy miejsc zerowych dla x² – 3x – 10 = 0. a=1, b=-3, c=-10.

Krok 2: Δ = (-3)² – 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49. √Δ = 7.

Krok 3: x₁ = (3 – 7) / 2 = -2, x₂ = (3 + 7) / 2 = 5.

Krok 4: Rysujemy parabolę. a=1 > 0, więc ramiona w górę. Zaznaczamy na osi -2 i 5.

Krok 5: Szukamy wartości mniejszych lub równych 0 (≤ 0), czyli tego, co jest pod osią lub na osi. Jest to fragment między miejscami zerowymi.

Odpowiedź: x ∈ [-2, 5]

Zadanie 4.2: Rozwiąż nierówność -x² + 2x + 3 > 0.

Krok 1: Miejsca zerowe dla -x² + 2x + 3 = 0. a=-1, b=2, c=3.

Krok 2: Δ = 2² – 4*(-1)*3 = 4 + 12 = 16. √Δ = 4.

Krok 3: x₁ = (-2 – 4) / -2 = 3, x₂ = (-2 + 4) / -2 = -1.

Krok 4: Rysujemy parabolę. a=-1 < 0, więc ramiona w dół. Zaznaczamy na osi -1 i 3.

Krok 5: Szukamy wartości większych od 0 (> 0), czyli tego, co jest nad osią. Jest to fragment między miejscami zerowymi.

Odpowiedź: x ∈ (-1, 3)

Zadanie 4.3: Zbiorem rozwiązań nierówności x(x+6) < 0 jest:

Krok 1: Mnożymy nawias: x² + 6x < 0.

Krok 2: Szukamy miejsc zerowych dla x² + 6x = 0. Można wyciągnąć x przed nawias: x(x+6) = 0. Miejsca zerowe to x=0 oraz x=-6.

Krok 3: Rysujemy parabolę. a=1 > 0, więc ramiona w górę. Zaznaczamy -6 i 0.

Krok 4: Szukamy wartości mniejszych od 0 (< 0), czyli tego, co pod osią.

Odpowiedź: x ∈ (-6, 0)

Typ 5: Równanie Wymierne

Jak rozpoznać? Jest ułamek, w którym x znajduje się w mianowniku.

Pokaż schemat rozwiązywania

DZIEDZINA (NAJWAŻNIEJSZE!): Zapisz, że mianownik (dół ułamka) nie może być równy 0 i rozwiąż ten warunek.
Przyrównaj licznik (górę) do zera: Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero.
Rozwiąż otrzymane równanie.
Sprawdź wynik z dziedziną: Upewnij się, że otrzymane rozwiązanie nie jest “zakazaną” liczbą z kroku 1.
Podaj ostateczną odpowiedź.

Zadania do przećwiczenia

Zadanie 5.1: Rozwiąż równanie (x² – 4) / (x – 2) = 0.

Krok 1 (Dziedzina): x – 2 ≠ 0, czyli x ≠ 2. Liczba 2 jest wykluczona.

Krok 2 (Licznik = 0): x² – 4 = 0.

Krok 3 (Rozwiązanie): x² = 4, co daje x = 2 lub x = -2.

Krok 4 (Sprawdzenie z dziedziną): Rozwiązanie x = 2 odrzucamy, bo nie należy do dziedziny. Rozwiązanie x = -2 jest poprawne.

Odpowiedź: x = -2

Zadanie 5.2: Rozwiąż równanie (x + 1)(x – 5) / (x – 5) = 0.

Krok 1 (Dziedzina): x – 5 ≠ 0, czyli x ≠ 5.

Krok 2 (Licznik = 0): (x + 1)(x – 5) = 0.

Krok 3 (Rozwiązanie): x + 1 = 0 lub x – 5 = 0. Daje to x = -1 lub x = 5.

Krok 4 (Sprawdzenie z dziedziną): Rozwiązanie x = 5 odrzucamy. Pozostaje x = -1.

Odpowiedź: x = -1

Zadanie 5.3: Równanie (x² + 25) / (x – 5) = 0:

Krok 1 (Dziedzina): x – 5 ≠ 0, czyli x ≠ 5.

Krok 2 (Licznik = 0): x² + 25 = 0.

Krok 3 (Rozwiązanie): x² = -25. Kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest ujemny, więc to równanie nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: Brak rozwiązań.