Akademeo
Kokpit Akademeo

Schematy Rozwiązywania Zadań z Ciągów

Materiał krok po kroku, stworzony z myślą o maturzystach. Skup się na schemacie, a każde zadanie stanie się prostsze.

TYP 1: Obliczanie konkretnego wyrazu ciągu (an)

Przykład: Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 5, a różnica to 3. Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.

Schemat KROK PO KROKU:

  1. Zidentyfikuj dane: a1 = 5, r = 3, n = 10
  2. Określ cel: Obliczyć a10
  3. Wybierz wzór: an = a1 + (n-1) · r
  4. Podstaw i oblicz: a10 = 5 + (10-1) · 3 = 5 + 9 · 3 = 5 + 27 = 32
  5. Zapisz odpowiedź: Dziesiąty wyraz tego ciągu wynosi 32.

Zadania do poćwiczenia:

1. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi -2, a różnica 5. Oblicz ósmy wyraz.

Poprawna odpowiedź: B

Dane: a1 = -2, r = 5, n = 8

Obliczenia: a8 = -2 + (8-1) · 5 = -2 + 7 · 5 = -2 + 35 = 33

2. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 10, a różnica -3. Oblicz piętnasty wyraz.

Poprawna odpowiedź: C

Dane: a1 = 10, r = -3, n = 15

Obliczenia: a15 = 10 + (15-1) · (-3) = 10 + 14 · (-3) = 10 – 42 = -32

TYP 2: Obliczanie sumy wyrazów (Sn)

Przykład: Oblicz sumę 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym a1 = 2 i r=4.

  1. Zidentyfikuj dane: a1 = 2, r = 4, n = 20
  2. Określ cel: Obliczyć S20
  3. Wybierz wzór: Sn = (2a1 + (n-1) · r) / 2 · n
  4. Podstaw i oblicz: S20 = (2·2 + (20-1)·4) / 2 · 20 = (4 + 76) / 2 · 20 = 40 · 20 = 800
  5. Zapisz odpowiedź: Suma 20 początkowych wyrazów wynosi 800.

Zadania do poćwiczenia:

1. Oblicz sumę 10 początkowych wyrazów ciągu, w którym a1=7 i r=2.

Poprawna odpowiedź: A

Dane: a1 = 7, r = 2, n = 10

Obliczenia: S10 = (2·7 + (10-1)·2) / 2 · 10 = (14 + 18) / 2 · 10 = 32 / 2 · 10 = 16 · 10 = 160

TYP 3: Zadanie z trzema kolejnymi wyrazami

Przykład: Liczby x-2, 6, 12 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

  1. Zidentyfikuj wyrazy: a = x-2, b = 6, c = 12
  2. Określ cel: Obliczyć x
  3. Wybierz własność: b = (a+c) / 2
  4. Podstaw i rozwiąż równanie: 6 = (x-2 + 12) / 2 => 12 = x+10 => x = 2
  5. Zapisz odpowiedź: Wartość x wynosi 2.

Zadania do poćwiczenia:

1. Liczby 4, x+1, 10 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Poprawna odpowiedź: D

Własność: x+1 = (4+10)/2

Obliczenia: x+1 = 14/2 => x+1 = 7 => x = 6