Koszyk

Brak produktów w koszyku.

Kombinatoryka

Kombinatoryka – Interaktywne Schematy Zadań

Interaktywny Przewodnik po Kombinatoryce

Ten przewodnik pomoże Ci zrozumieć, jakiego sposobu użyć do rozwiązania zadania z kombinatoryki. Czytaj powoli, krok po kroku. Skup się na słowach-kluczach.

Dwie Główne Reguły

Reguła Mnożenia (słowo: “I”)

Używasz, gdy robisz kilka rzeczy jedna po drugiej (etap 1 “I” etap 2 “I” etap 3…).

Liczbę sposobów z każdego etapu MNOŻYSZ przez siebie.

Ile zestawów (bluzka I spodnie) można wybrać, mając 3 bluzki I 2 pary spodni?

Sposoby: 3 (bluzki) x 2 (spodnie) = 6 zestawów.

Reguła Dodawania (słowo: “LUB”)

Używasz, gdy masz kilka osobnych opcji do wyboru (opcja 1 “LUB” opcja 2…).

Liczbę sposobów dla każdej opcji DODAJESZ do siebie.

Do pracy można dojechać autobusem (3 linie) LUB tramwajem (2 linie).

Sposoby: 3 (autobusy) + 2 (tramwaje) = 5 różnych sposobów.

Schemat Decyzyjny: Jaki to typ zadania?

Zadaj sobie te pytania, aby rozpoznać typ zadania.

PYTANIE 1: Czy kolejność wybranych elementów jest WAŻNA?

Pomyśl: Czy jeśli zamienię elementy miejscami, dostanę inny wynik? (np. czy kod “123” to to samo co “321”? NIE. Czyli kolejność jest WAŻNA).

TAK, kolejność jest WAŻNA

(np. kody, liczby, flagi, zarząd)

Idź do Pytania 2

NIE, kolejność jest NIEWAŻNA

(np. delegacja, grupa osób, losowanie kul)

To są KOMBINACJE
PYTANIE 2 (jeśli kolejność WAŻNA): Czy elementy mogą się POWTARZAĆ?

Pomyśl: Czy mogę użyć tej samej cyfry/litery więcej niż raz?

TAK, mogą się POWTARZAĆ

(np. rzuty kostką, kod PIN, tworzenie liczby)

To są WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI

NIE, nie mogą się POWTARZAĆ

(np. “liczba RÓŻNOCYFROWA”, medale, ustawianie w kolejce)

Idź do Pytania 3

PYTANIE 3 (WAŻNA kolejność, BEZ powtórzeń): Czy używamy WSZYSTKICH elementów?

Pomyśl: Czy mam 5 osób i ustawiam WSZYSTKIE 5 w kolejce?

TAK, używamy WSZYSTKICH

(np. “ustawiamy WSZYSTKIE 5 osób”, “przestawiamy WSZYSTKIE litery”)

To są PERMUTACJE

NIE, wybieramy tylko KILKA

(np. “wybieramy 3 osoby z 5 i dajemy im medale”)

To są WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ

Typowe Zadania Maturalne – Schemat “Kratek”

Schemat: Tworzenie Liczb

To najczęstsze zadanie maturalne. Najłatwiej rozwiązać je “rysując kratki”. Pamiętaj o Regule Mnożenia (liczby w kratkach mnożymy).

Zadanie Główne: Ile jest 4-cyfrowych liczb PARZYSTYCH, w których cyfry się NIE powtarzają (różnocyfrowych), utworzonych z cyfr {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}?

KROK 1: Narysuj kratki (4 kratki dla 4 cyfr)

?
?
?
?

KROK 2: Znajdź “warunki specjalne”

  • “4-cyfrowa” -> Pierwsza cyfra NIE MOŻE być zerem!
  • “PARZYSTA” -> Ostatnia cyfra musi być parzysta (z naszego zbioru: {0, 2, 4, 6}).
  • “NIE POWTARZAJĄ SIĘ” -> Jak użyjesz cyfry, nie możesz jej użyć znowu.

KROK 3: Rozbij na przypadki (Reguła Dodawania)

Problemem jest cyfra 0. Może być na końcu (bo parzysta), ale nie na początku. Rozwiązanie: 2 przypadki (na końcu jest 0 LUB na końcu jest inna parzysta).

Przypadek 1: Na końcu jest 0.

  • Ostatnia kratka: 1 opcja (tylko 0).
  • Pierwsza kratka: 6 opcji (ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zero “zużyte”).
  • Druga kratka: 5 opcji (zostało 5 cyfr).
  • Trzecia kratka: 4 opcje.
6
x
5
x
4
x
1
= 120

Przypadek 2: Na końcu JEST parzysta, ale NIE 0 (czyli {2, 4, 6})

  • Ostatnia kratka: 3 opcje (cyfry {2, 4, 6}).
  • Pierwsza kratka: 5 opcji (nie może być 0 i nie może być cyfry z końca).
  • Druga kratka: 5 opcji (teraz 0 może być, zużyliśmy 2 cyfry).
  • Trzecia kratka: 4 opcje.
5
x
5
x
4
x
3
= 300

KROK 4: Dodaj wyniki (Reguła Dodawania)

Wynik = (Przypadek 1) + (Przypadek 2) = 120 + 300 = 420.

Zadanie 1: Ile jest 3-cyfrowych liczb NIEPARZYSTYCH o RÓŻNYCH cyfrach, utworzonych z cyfr {1, 2, 3, 4, 5}?

Schemat: 3 kratki, bez zera, różne cyfry, nieparzyste.
Warunki: Ostatnia cyfra musi być nieparzysta: {1, 3, 5}.
Krok 1 (Ostatnia kratka): Mamy 3 opcje (1, 3 lub 5).
Krok 2 (Pierwsza kratka): Ze zbioru 5 cyfr zużyliśmy jedną na koniec. Zostały 4 opcje.
Krok 3 (Druga kratka): Zużyliśmy już 2 cyfry. Zostały 3 opcje.
Obliczenia:
4
x
3
x
3
= 36
Odpowiedź: Takich liczb jest 36.

Zadanie 2: Ile jest 5-cyfrowych liczb WIĘKSZYCH od 40000, utworzonych z cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6}, jeśli cyfry MOGĄ się powtarzać?

Schemat: 5 kratek, cyfry mogą się powtarzać.
Warunki: Liczba ma być > 40000. To oznacza, że pierwsza cyfra musi być 4, 5 lub 6.
Krok 1 (Pierwsza kratka): Mamy 3 opcje ({4, 5, 6}).
Krok 2 (Pozostałe kratki): Cyfry mogą się powtarzać, więc w każdej kratce mamy 6 opcji (ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
Obliczenia:
3
x
6
x
6
x
6
x
6
= 3888

(Obliczenie: 3 razy 6 do potęgi 4 = 3 x 1296 = 3888)

Odpowiedź: Takich liczb jest 3888.

Zadanie 3: Ile jest 4-cyfrowych liczb PODZIELNYCH PRZEZ 5, o różnych cyfrach, utworzonych ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5}?

Schemat: 4 kratki, różne cyfry, podzielne przez 5. Zbiór {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Warunki: Podzielne przez 5 (ostatnia cyfra to 0 lub 5). Pierwsza cyfra nie może być 0. To znowu problem z zerem.
Krok 1: Rozbij na 2 przypadki (Reguła Dodawania).
Przypadek 1: Na końcu jest 0.
  • Ostatnia kratka: 1 opcja (cyfra 0).
  • Pierwsza kratka: 5 opcji (zostały {1, 2, 3, 4, 5}).
  • Druga kratka: 4 opcje.
  • Trzecia kratka: 3 opcje.
5
x
4
x
3
x
1
= 60
Przypadek 2: Na końcu jest 5.
  • Ostatnia kratka: 1 opcja (cyfra 5).
  • Pierwsza kratka: 4 opcje (zostały {1, 2, 3, 4}. Nie może być 0 i nie może być 5).
  • Druga kratka: 4 opcje (teraz 0 może być, zużyliśmy 2 cyfry).
  • Trzecia kratka: 3 opcje.
4
x
4
x
3
x
1
= 48
Krok 2: Dodaj wyniki.
Wynik = 60 (z Przypadku 1) + 48 (z Przypadku 2) = 108.
Odpowiedź: Takich liczb jest 108.

Zadanie 4: Ile jest 3-cyfrowych liczb MNIEJSZYCH od 300, o cyfrach, które mogą się powtarzać, utworzonych ze zbioru {1, 2, 3, 4}?

Schemat: 3 kratki, cyfry mogą się powtarzać. Zbiór {1, 2, 3, 4}.
Warunki: Liczba mniejsza od 300. Oznacza to, że pierwsza cyfra (setek) może być tylko 1 lub 2.
Krok 1 (Pierwsza kratka): Mamy 2 opcje ({1, 2}).
Krok 2 (Druga kratka): Powtórki są OK. Mamy 4 opcje ({1, 2, 3, 4}).
Krok 3 (Trzecia kratka): Powtórki są OK. Mamy 4 opcje ({1, 2, 3, 4}).
Obliczenia:
2
x
4
x
4
= 32
Odpowiedź: Takich liczb jest 32.

PERMUTACJE (Kolejność WAŻNA, Używamy WSZYSTKICH, BEZ powtórzeń)

Schemat: Ustawiamy WSZYSTKIE (powiedzmy “n”) RÓŻNYCH elementów w jakiejś kolejności.

Wzór: Liczba sposobów to “n silnia” (czyli mnożenie wszystkich liczb od n do 1).

Słowa-klucze: “ustawiamy w kolejce”, “przestawiamy litery słowa (bez powtórek)”, “na ile sposobów można posadzić (wszystkie) osoby”
Na ile sposobów 4 osoby (A, B, C, D) mogą ustawić się w kolejce do kasy?

Na pierwsze miejsce 4 opcje, na drugie 3, na trzecie 2, na ostatnie 1.

n silnia = 4 silnia = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

PERMUTACJE Z POWTÓRZENIAMI

Schemat: Ustawiamy “n” elementów w kolejności, ale niektóre z nich się powtarzają.

Słowa-klucze: “przestawiamy litery słowa (gdy litery się powtarzają)”, np. MAMA, KAJAK, MATEMATYKA

Wzór: (n!) / (n1! · n2! · …)

(n silnia) / (n1 silnia x n2 silnia x … )

Zadanie 1: Ile różnych słów (anagramów) można ułożyć z liter słowa ROMA?

Analiza: Słowo ROMA ma 4 litery. Wszystkie litery są RÓŻNE. Używamy wszystkich, kolejność ważna.
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Odpowiedź: 24.

Zadanie 2: Ile różnych słów (anagramów) można ułożyć z liter słowa OKO?

Analiza: 3 litery, O powtarza się 2x.
3! / 2! = 6 / 2 = 3
Odpowiedź: 3.

Zadanie 3: Na ile sposobów 5 osób może usiąść w rzędzie?

5! = 120
Odpowiedź: 120.

Zadanie 4: Ile anagramów ze słowa MATEMATYKA?

10! / (2! · 3! · 2!) = 151200
Odpowiedź: 151 200.

WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI (Kolejność WAŻNA, Powtórki OK)

Schemat: Tworzymy ciąg o długości “k” z “n” elementów (powtórki dozwolone).

Słowa-klucze: “kod PIN”, “rzuty kostką”, “numer”
3-cyfrowe kody z cyfr 0–9 →
10^3 = 1000

WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ (Kolejność WAŻNA, Powtórki NIE)

3-cyfrowe liczby różnocyfrowe z {1..5} →
5 × 4 × 3 = 60

Zadanie 1: 4 rzuty kostką – ile wyników?

6^4 = 1296

Zadanie 2: 2-literowe kody z {A,B,C,D}, powtórki OK

4^2 = 16

Zadanie 3: przewodniczący i zastępca z 20-os. klasy

20 × 19 = 380

Zadanie 4: 6 zawodników – podium (zł, sr, br)?

6 × 5 × 4 = 120

KOMBINACJE (Kolejność NIEWAŻNA)

Schemat: Wybieramy k z n (kolejność bez znaczenia).

Delegacja 3-os. z 10 →
C(10,3)=120

Zadanie 1: Lotto – 6 z 49

C(49,6) = 13 983 816

Zadanie 2: 5 czarnych, 4 białe – wylosuj 2C + 1B

C(5,2) × C(4,1) = 10 × 4 = 40

Zadanie 3: Co najmniej 1 dziewczyna z (10 chł., 5 dz.) do 3-os. delegacji

Wszystkie delegacje: C(15,3)=455
“Źle” (sami chłopcy): C(10,3)=120
Wynik: 455 – 120 = 335

Zadanie 4: 2 książki z 7 różnych

C(7,2) = 21

Reguła Włączeń i Wyłączeń (Zadania o Zbiorach)

Schemat: Gdy grupy mają część wspólną – licz z przecięciem.

Słowa-klucze: “A lub B”, “część wspólna”, “poza obiema”

Wzór: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Zadanie 1: Siatkówka(24), Koszykówka(18), Obie(16), Nikt(4). Ilu uczniów?

|A ∪ B| = 24 + 18 − 16 = 26; razem: 26 + 4 = 30

Zadanie 2: 85 nauczycieli, 25 bez dzieci, 50 ma syna, 45 córkę. Ilu ma syna i córkę?

Z dziećmi: 85 − 25 = 60. 60 = 50 + 45 − x ⇒ x = 35.

Zadanie 3: Klasa 30; lubią M(15), H(20), obie(8). Ilu nie lubi nic?

|M ∪ H| = 15 + 20 − 8 = 27. Poza: 30 − 27 = 3.

Zadanie 4: 100 turystów; ang.(70), niem.(50), każdy zna ≥1. Ilu zna oba?

|A ∪ B| = 100 = 70 + 50 − x ⇒ x = 20.

Inne Typy Zadań (Niestandardowe)

Te zadania wymagają czasem wiedzy z innych działów (teoria liczb, ciągi arytmetyczne).

Zliczanie z warunkami (Ciąg Arytmetyczny)

Schemat: Liczby spełniające warunek reszty z dzielenia tworzą ciąg arytmetyczny.

Zadanie 1: Ile wśród 1..199 jest liczb ≡ 3 (mod 7)?

a1=3, an=199, r=7. 199=3+(n−1)·7 ⇒ n=29. Odp.: 29.

Liczba Dzielników (Teoria Liczb)

Wzór: D(N) = (x+1)(y+1)… dla rozkładu N = p^x q^y …

Zadanie 2: Ile dzielników ma 84?

84=2^2·3^1·7^1 ⇒ (2+1)(1+1)(1+1)=12.

Zadanie 3: Ile liczb dwucyfrowych podzielnych przez 4?

a1=12, an=96, r=4 ⇒ n=22. Odp.: 22.

Zadanie 4: Ile dzielników ma 360?

360=2^3·3^2·5^1 ⇒ (3+1)(2+1)(1+1)=24.
Kursy dla nauczycieli
Express Językowy - jak przygotować się do zajęć w 5 min
Angielskie Cuda w Przedszkolu: Twórz Magię z Niczego!
Nowoczesna EdTech Magia: Integracja Technologii z Tradycyjnym Nauczaniem
Kursy dla uczniów
Skok na wynik - kurs przygotowujący do Egzaminu Ósmoklasisty
Maturzysta na Fali - Przygotowanie do Matury z Języka Angielskiego
Odblokuj Angielski: Intensywny Program Konwersacyjny
Informacje
Sklep
Regulamin
Polityka prywatności
O mnie