Kombinatoryka – Interaktywne Schematy Zadań

Interaktywny Przewodnik po Kombinatoryce

Ten przewodnik pomoże Ci zrozumieć, jakiego sposobu użyć do rozwiązania zadania z kombinatoryki. Czytaj powoli, krok po kroku. Skup się na słowach-kluczach.

Dwie Główne Reguły

Reguła Mnożenia (słowo: “I”)

Używasz, gdy robisz kilka rzeczy jedna po drugiej (etap 1 “I” etap 2 “I” etap 3…).

Liczbę sposobów z każdego etapu MNOŻYSZ przez siebie.

Ile zestawów (bluzka I spodnie) można wybrać, mając 3 bluzki I 2 pary spodni?

Sposoby: 3 (bluzki) x 2 (spodnie) = 6 zestawów.

Reguła Dodawania (słowo: “LUB”)

Używasz, gdy masz kilka osobnych opcji do wyboru (opcja 1 “LUB” opcja 2…).

Liczbę sposobów dla każdej opcji DODAJESZ do siebie.

Do pracy można dojechać autobusem (3 linie) LUB tramwajem (2 linie).

Sposoby: 3 (autobusy) + 2 (tramwaje) = 5 różnych sposobów.

Schemat Decyzyjny: Jaki to typ zadania?

Zadaj sobie te pytania, aby rozpoznać typ zadania.

PYTANIE 1: Czy kolejność wybranych elementów jest WAŻNA?

Pomyśl: Czy jeśli zamienię elementy miejscami, dostanę inny wynik? (np. czy kod “123” to to samo co “321”? NIE. Czyli kolejność jest WAŻNA).

TAK, kolejność jest WAŻNA

(np. kody, liczby, flagi, zarząd)

Idź do Pytania 2

NIE, kolejność jest NIEWAŻNA

(np. delegacja, grupa osób, losowanie kul)

To są KOMBINACJE

PYTANIE 2 (jeśli kolejność WAŻNA): Czy elementy mogą się POWTARZAĆ?

Pomyśl: Czy mogę użyć tej samej cyfry/litery więcej niż raz?

TAK, mogą się POWTARZAĆ

(np. rzuty kostką, kod PIN, tworzenie liczby)

To są WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI

NIE, nie mogą się POWTARZAĆ

(np. “liczba RÓŻNOCYFROWA”, medale, ustawianie w kolejce)

Idź do Pytania 3

PYTANIE 3 (WAŻNA kolejność, BEZ powtórzeń): Czy używamy WSZYSTKICH elementów?

Pomyśl: Czy mam 5 osób i ustawiam WSZYSTKIE 5 w kolejce?

TAK, używamy WSZYSTKICH

(np. “ustawiamy WSZYSTKIE 5 osób”, “przestawiamy WSZYSTKIE litery”)

To są PERMUTACJE

NIE, wybieramy tylko KILKA

(np. “wybieramy 3 osoby z 5 i dajemy im medale”)

To są WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ

Typowe Zadania Maturalne – Schemat “Kratek”

Schemat: Tworzenie Liczb

To najczęstsze zadanie maturalne. Najłatwiej rozwiązać je “rysując kratki”. Pamiętaj o Regule Mnożenia (liczby w kratkach mnożymy).

Zadanie Główne: Ile jest 4-cyfrowych liczb PARZYSTYCH, w których cyfry się NIE powtarzają (różnocyfrowych), utworzonych z cyfr {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}?

KROK 1: Narysuj kratki (4 kratki dla 4 cyfr)

KROK 2: Znajdź “warunki specjalne”

“4-cyfrowa” -> Pierwsza cyfra NIE MOŻE być zerem!
“PARZYSTA” -> Ostatnia cyfra musi być parzysta (z naszego zbioru: {0, 2, 4, 6}).
“NIE POWTARZAJĄ SIĘ” -> Jak użyjesz cyfry, nie możesz jej użyć znowu.

KROK 3: Rozbij na przypadki (Reguła Dodawania)

Problemem jest cyfra 0. Może być na końcu (bo parzysta), ale nie na początku. Rozwiązanie: 2 przypadki (na końcu jest 0 LUB na końcu jest inna parzysta).

Przypadek 1: Na końcu jest 0.

Uzupełniamy kratki (ilością dostępnych cyfr):

Ostatnia kratka: 1 opcja (tylko 0).
Pierwsza kratka: 6 opcji (ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zero “zużyte”).
Druga kratka: 5 opcji (zostało 5 cyfr).
Trzecia kratka: 4 opcje.

= 120

Przypadek 2: Na końcu JEST parzysta, ale NIE 0 (czyli {2, 4, 6})

Ostatnia kratka: 3 opcje (cyfry {2, 4, 6}).
Pierwsza kratka: 5 opcji (nie może być 0 i nie może być cyfry z końca).
Druga kratka: 5 opcji (teraz 0 może być, zużyliśmy 2 cyfry).
Trzecia kratka: 4 opcje.

= 300

KROK 4: Dodaj wyniki (Reguła Dodawania)

Wynik = (Przypadek 1) + (Przypadek 2) = 120 + 300 = 420.

Zadanie 1: Ile jest 3-cyfrowych liczb NIEPARZYSTYCH o RÓŻNYCH cyfrach, utworzonych z cyfr {1, 2, 3, 4, 5}?

Schemat: 3 kratki, bez zera, różne cyfry, nieparzyste.
Warunki: Ostatnia cyfra musi być nieparzysta: {1, 3, 5}.
Krok 1 (Ostatnia kratka): Mamy 3 opcje (1, 3 lub 5).
Krok 2 (Pierwsza kratka): Ze zbioru 5 cyfr zużyliśmy jedną na koniec. Zostały 4 opcje.
Krok 3 (Druga kratka): Zużyliśmy już 2 cyfry. Zostały 3 opcje.
Obliczenia:

= 36

Odpowiedź: Takich liczb jest 36.

Zadanie 2: Ile jest 5-cyfrowych liczb WIĘKSZYCH od 40000, utworzonych z cyfr {1, 2, 3, 4, 5, 6}, jeśli cyfry MOGĄ się powtarzać?

Schemat: 5 kratek, cyfry mogą się powtarzać.
Warunki: Liczba ma być > 40000. To oznacza, że pierwsza cyfra musi być 4, 5 lub 6.
Krok 1 (Pierwsza kratka): Mamy 3 opcje ({4, 5, 6}).
Krok 2 (Pozostałe kratki): Cyfry mogą się powtarzać, więc w każdej kratce mamy 6 opcji (ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
Obliczenia:

= 3888

(Obliczenie: 3 razy 6 do potęgi 4 = 3 x 1296 = 3888)

Odpowiedź: Takich liczb jest 3888.

Zadanie 3: Ile jest 4-cyfrowych liczb PODZIELNYCH PRZEZ 5, o różnych cyfrach, utworzonych ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5}?

Schemat: 4 kratki, różne cyfry, podzielne przez 5. Zbiór {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Warunki: Podzielne przez 5 (ostatnia cyfra to 0 lub 5). Pierwsza cyfra nie może być 0. To znowu problem z zerem.
Krok 1: Rozbij na 2 przypadki (Reguła Dodawania).
Przypadek 1: Na końcu jest 0.

Ostatnia kratka: 1 opcja (cyfra 0).
Pierwsza kratka: 5 opcji (zostały {1, 2, 3, 4, 5}).
Druga kratka: 4 opcje.
Trzecia kratka: 3 opcje.

= 60

Przypadek 2: Na końcu jest 5.

Ostatnia kratka: 1 opcja (cyfra 5).
Pierwsza kratka: 4 opcje (zostały {1, 2, 3, 4}. Nie może być 0 i nie może być 5).
Druga kratka: 4 opcje (teraz 0 może być, zużyliśmy 2 cyfry).
Trzecia kratka: 3 opcje.

= 48

Krok 2: Dodaj wyniki.
Wynik = 60 (z Przypadku 1) + 48 (z Przypadku 2) = 108.
Odpowiedź: Takich liczb jest 108.

Zadanie 4: Ile jest 3-cyfrowych liczb MNIEJSZYCH od 300, o cyfrach, które mogą się powtarzać, utworzonych ze zbioru {1, 2, 3, 4}?

Schemat: 3 kratki, cyfry mogą się powtarzać. Zbiór {1, 2, 3, 4}.
Warunki: Liczba mniejsza od 300. Oznacza to, że pierwsza cyfra (setek) może być tylko 1 lub 2.
Krok 1 (Pierwsza kratka): Mamy 2 opcje ({1, 2}).
Krok 2 (Druga kratka): Powtórki są OK. Mamy 4 opcje ({1, 2, 3, 4}).
Krok 3 (Trzecia kratka): Powtórki są OK. Mamy 4 opcje ({1, 2, 3, 4}).
Obliczenia:

= 32

Odpowiedź: Takich liczb jest 32.

PERMUTACJE (Kolejność WAŻNA, Używamy WSZYSTKICH, BEZ powtórzeń)

Schemat: Ustawiamy WSZYSTKIE (powiedzmy “n”) RÓŻNYCH elementów w jakiejś kolejności.

Wzór: Liczba sposobów to “n silnia” (czyli mnożenie wszystkich liczb od n do 1).

Słowa-klucze: “ustawiamy w kolejce”, “przestawiamy litery słowa (bez powtórek)”, “na ile sposobów można posadzić (wszystkie) osoby”

Na ile sposobów 4 osoby (A, B, C, D) mogą ustawić się w kolejce do kasy?

Na pierwsze miejsce 4 opcje, na drugie 3, na trzecie 2, na ostatnie 1.

n silnia = 4 silnia = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

PERMUTACJE Z POWTÓRZENIAMI

Schemat: Ustawiamy “n” elementów w kolejności, ale niektóre z nich się powtarzają.

Słowa-klucze: “przestawiamy litery słowa (gdy litery się powtarzają)”, np. MAMA, KAJAK, MATEMATYKA

Wzór: Dzielimy “n silnia” przez silnie ilości powtórzeń każdej litery.

(n silnia) / (n1 silnia x n2 silnia x … )

Gdzie “n” to łączna liczba liter, “n1” to liczba powtórzeń pierwszej litery, “n2” to liczba powtórzeń drugiej itd.

Zadanie 1: Ile różnych słów (anagramów) można ułożyć z liter słowa ROMA?

Analiza: Słowo ROMA ma 4 litery. Wszystkie litery są RÓŻNE. Chcemy je ustawić w różnej kolejności (używamy wszystkich).
Schemat: Jest to permutacja bez powtórzeń z 4 elementów.
Obliczenia:

4 silnia = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Odpowiedź: Można ułożyć 24 różne słowa.

Zadanie 2: Ile różnych słów (anagramów) można ułożyć z liter słowa OKO?

Analiza: Słowo OKO ma łącznie 3 litery. Litera “O” powtarza się 2 razy. Litera “K” występuje 1 raz.
Schemat: Jest to permutacja z powtórzeniami.
Obliczenia: Liczymy 3 silnia (bo 3 litery), ale musimy podzielić przez 2 silnia (bo litera “O” się powtarza 2 razy).

(3 silnia) / (2 silnia) = (3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 6 / 2 = 3

Odpowiedź: Można ułożyć 3 różne słowa (OKO, KOO, OOK).

Zadanie 3: Na ile sposobów 5 osób (Ania, Bartek, Czesio, Daria, Ewa) może usiąść w rzędzie na ławce?

Analiza: Mamy 5 różnych osób i chcemy je ustawić w 5-elementowej kolejności (rzędzie). Używamy wszystkich osób, kolejność jest ważna.
Schemat: Jest to permutacja bez powtórzeń z 5 elementów.
Obliczenia:

5 silnia = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Odpowiedź: Mogą usiąść na 120 sposobów.

Zadanie 4: Ile różnych anagramów można ułożyć z liter słowa MATEMATYKA?

Analiza: Słowo MATEMATYKA ma łącznie 10 liter.
Sprawdzamy powtórzenia:
– M powtarza się 2 razy.
– A powtarza się 3 razy.
– T powtarza się 2 razy.
– E, Y, K powtarzają się 1 raz.
Schemat: Jest to permutacja z powtórzeniami.
Obliczenia: Liczymy 10 silnia (bo 10 liter) i dzielimy przez silnie powtórzeń (2 silnia dla M, 3 silnia dla A, 2 silnia dla T).

(10 silnia) / (2 silnia x 3 silnia x 2 silnia) = 3628800 / (2 x 6 x 2) = 3628800 / 24 = 151200

Odpowiedź: Można ułożyć 151 200 anagramów.

WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI (Kolejność WAŻNA, Powtórki OK)

Schemat: Tworzymy ciąg o długości “k” elementów ze zbioru “n” elementów. Elementy mogą się powtarzać.

Wzór: Liczba sposobów to “n do potęgi k”.

Słowa-klucze: “kod PIN”, “numer rejestracyjny”, “rzut kostką / monetą (kilka razy)”

Ile można utworzyć 3-cyfrowych kodów PIN (używając cyfr 0-9)?

Mamy 10 cyfr do wyboru (“n”=10). Tworzymy kod o długości 3 (“k”=3). Powtórki są OK.

n do potęgi k = 10 do potęgi 3 = 10 x 10 x 10 = 1000

WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ (Kolejność WAŻNA, Powtórki NIE)

Schemat: Tworzymy ciąg o długości “k” elementów ze zbioru “n” elementów. Elementy NIE mogą się powtarzać.

Wzór (Metoda Kratek): Mnożymy malejące liczby: n x (n-1) x (n-2) … tyle razy, ile wynosi “k”.

Słowa-klucze: “liczba RÓŻNOCYFROWA”, “wybór zarządu (prezes, v-ce prezes)”, “medale”

Ile jest 3-cyfrowych liczb RÓŻNOCYFROWYCH z cyfr {1, 2, 3, 4, 5}?

Mamy 5 cyfr (“n”=5), tworzymy liczbę o dł. 3 (“k”=3). Na pierwsze miejsce 5 opcji, na drugie 4, na trzecie 3.

5 x 4 x 3 = 60

Zadanie 1: Rzucamy sześcienną kostką 4 razy, zapisując wyniki w kolejności rzutów. Ile wyników tej postaci możemy uzyskać?

Analiza: Tworzymy ciąg 4 wyników. Kolejność jest ważna. Wyniki mogą się powtarzać (np. 1, 1, 1, 1).
Schemat: Jest to wariacja z powtórzeniami. Zbiór ma “n”=6 (liczby oczek 1-6), długość ciągu “k”=4.
Obliczenia: Na każdy z 4 rzutów mamy 6 możliwości.

n do potęgi k = 6 do potęgi 4 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

Odpowiedź: Możemy uzyskać 1296 takich wyników.

Zadanie 2: Ile jest 2-literowych kodów utworzonych z liter {A, B, C, D}? (Kolejność ważna, powtórki dozwolone)

Analiza: Tworzymy ciąg 2 liter. Kolejność ważna (AB to nie BA). Powtórki OK (AA jest dozwolone).
Schemat: Jest to wariacja z powtórzeniami. Zbiór ma “n”=4 (litery A, B, C, D), długość ciągu “k”=2.
Obliczenia: Na pierwsze miejsce 4 opcje, na drugie też 4 opcje.

n do potęgi k = 4 do potęgi 2 = 4 x 4 = 16

Odpowiedź: Jest 16 takich kodów.

Zadanie 3: Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego i zastępcę z klasy 20-osobowej?

Analiza: Wybieramy 2 osoby z 20. Kolejność jest WAŻNA (Ania przewodnicząca, Bartek zastępca to INNY wybór niż Bartek przewodniczący, Ania zastępca). Powtórki NIE są możliwe (jedna osoba nie może być obiema funkcjami).
Schemat: Jest to wariacja bez powtórzeń. “n”=20, “k”=2.
Obliczenia: Na przewodniczącego mamy 20 opcji. Na zastępcę zostaje 19 opcji.

20 x 19 = 380

Odpowiedź: Można to zrobić na 380 sposobów.

Zadanie 4: W biegu startuje 6 zawodników. Ile jest możliwości zajęcia trzech pierwszych miejsc na podium (złoto, srebro, brąz)?

Analiza: Wybieramy 3 zawodników z 6. Kolejność jest WAŻNA (kto inny dostaje złoto, srebro, brąz). Powtórki NIE są możliwe.
Schemat: Jest to wariacja bez powtórzeń. “n”=6, “k”=3.
Obliczenia: Na złoto 6 opcji. Na srebro 5 opcji. Na brąz 4 opcje.

6 x 5 x 4 = 120

Odpowiedź: Jest 120 takich możliwości.

KOMBINACJE (Kolejność NIEWAŻNA)

Schemat: Wybieramy grupę “k” elementów ze zbioru “n” elementów. Nie interesuje nas kolejność wyboru.

Wzór: Używamy “Symbolu Newtona (n po k)”.

Słowa-klucze: “wybieramy delegację”, “grupa”, “zespół”, “losujemy kule”, “ile jest podzbiorów”, “wybierz 2 osoby z 5”

Na ile sposobów można wybrać 3-osobową delegację z klasy liczącej 10 osób?

Wybieramy 3 osoby z 10. Kolejność wyboru nie ma znaczenia (Adam, Basia, Czesio to ta sama delegacja co Czesio, Basia, Adam).

Używamy Symbolu Newtona:

Symbol Newtona (10 po 3) = (10 silnia) / (3 silnia x (10-3) silnia) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 720 / 6 = 120

Zadanie 1: Na ile sposobów można wylosować 6 liczb z 49 (Lotto)?

Analiza: Wybieramy grupę 6 liczb z 49. Kolejność losowania NIE JEST ważna (liczy się tylko zestaw trafionych liczb).
Schemat: Jest to kombinacja. “n”=49, “k”=6.
Obliczenia:

Symbol Newtona (49 po 6) = 13 983 816

Odpowiedź: Jest 13 983 816 takich sposobów. (Na maturze nie trzeba tego obliczać, wystarczy zapis (49 po 6)).

Zadanie 2: Z pudełka, w którym jest 5 kul czarnych i 4 białe, losujemy 3 kule. Na ile sposobów można wylosować 2 kule czarne i 1 białą?

Analiza: Musimy wykonać dwie czynności jedna po drugiej (Reguła Mnożenia):
1. Wybrać 2 kule czarne z 5 dostępnych (kolejność nieważna).
2. I wybrać 1 kulę białą z 4 dostępnych (kolejność nieważna).
Schemat: Kombinacja RAZY Kombinacja.
Obliczenia:
Krok 1 (czarne): Symbol Newtona (5 po 2) = (5 x 4) / (2 x 1) = 10
Krok 2 (białe): Symbol Newtona (4 po 1) = 4
Wynik (Reguła Mnożenia): 10 x 4 = 40
Odpowiedź: Można to zrobić na 40 sposobów.

Zadanie 3: Z grupy 10 chłopców i 5 dziewcząt wybieramy 3-osobową delegację. Ile jest możliwości, jeśli w delegacji ma być co najmniej 1 dziewczyna?

Analiza: “Co najmniej 1 dziewczyna” oznacza: (1 dziewczyna I 2 chłopców) LUB (2 dziewczyny I 1 chłopiec) LUB (3 dziewczyny I 0 chłopców). Liczenie tego jest długie.
Schemat (sprytniejszy): Używamy zdarzenia przeciwnego. Obliczymy WSZYSTKIE możliwe delegacje i odejmiemy te, które nam NIE pasują (czyli delegacje złożone z SAMYCH CHŁOPCÓW).
Łącznie osób: 10 + 5 = 15.
Krok 1 (Wszystkie delegacje): Wybieramy 3 osoby z 15. Kolejność nieważna.
Symbol Newtona (15 po 3) = (15 x 14 x 13) / (3 x 2 x 1) = 455.
Krok 2 (Delegacje “złe” – sami chłopcy): Wybieramy 3 osoby z 10 chłopców.
Symbol Newtona (10 po 3) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120.
Krok 3 (Wynik): Wszystkie – “złe” = 455 – 120 = 335.
Odpowiedź: Jest 335 takich delegacji.

Zadanie 4: Na ile sposobów można wybrać 2 różne książki z 7 różnych książek na półce?

Analiza: Wybieramy 2 książki z 7. Kolejność wyboru nie ma znaczenia (czy weźmiemy “A” i “B” czy “B” i “A”, mamy ten sam zestaw książek).
Schemat: Jest to kombinacja. “n”=7, “k”=2.
Obliczenia:

Symbol Newtona (7 po 2) = (7 x 6) / (2 x 1) = 42 / 2 = 21

Odpowiedź: Można je wybrać na 21 sposobów.

Reguła Włączeń i Wyłączeń (Zadania o Zbiorach)

Schemat: Używamy, gdy mamy grupy, które mają wspólną część. Najlepiej rysować Diagram Venna.

Słowa-klucze: “gra w siatkówkę lub koszykówkę”, “ma syna lub córkę”, “zna angielski lub niemiecki”

Wzór: Liczba osób w obu grupach (Suma A lub B) = (Liczba w A) + (Liczba w B) – (Liczba w części wspólnej A i B)

Całkowita liczba (np. w klasie) = (Suma grup A lub B) + (Osoby spoza obu grup)

Zadanie 1: Uczniowie pewnej klasy grają w siatkówkę lub w koszykówkę. W siatkówkę gra 24 uczniów, w koszykówkę 18 uczniów, w obie te gry razem gra 16 uczniów, natomiast 4 uczniów nie gra w żadną z tych gier. Ilu uczniów jest w tej klasie?

Dane:
L(Siatkówka) = 24
L(Koszykówka) = 18
L(Obie gry) = 16
L(Nikt) = 4
Krok 1: Obliczamy, ile osób gra w COKOLWIEK (w siatkówkę LUB koszykówkę).
L(Siatkówka lub Koszykówka) = L(Siatkówka) + L(Koszykówka) – L(Obie gry)
L(Siatkówka lub Koszykówka) = 24 + 18 – 16 = 26
(Tyle osób gra w co najmniej jedną grę).
Krok 2: Dodajemy osoby, które nie grają w nic.
Liczba uczniów w klasie = (Grający w cokolwiek) + (Niegrający w nic)
Liczba uczniów = 26 + 4 = 30
Odpowiedź: W klasie jest 30 uczniów.

Zadanie 2: Spośród 85 nauczycieli pewnej szkoły 25 nie ma dzieci, 50 ma syna, a 45 ma córkę. Ilu nauczycieli ma syna i córkę?

Dane:
L(Wszyscy) = 85
L(Brak dzieci) = 25
L(Syn) = 50
L(Córka) = 45
Szukane: L(Syn i Córka)
Krok 1: Obliczamy, ile osób ma COKOLWIEK (syna LUB córkę).
L(Syn lub Córka) = L(Wszyscy) – L(Brak dzieci)
L(Syn lub Córka) = 85 – 25 = 60
(Tyle osób ma co najmniej jedno dziecko).
Krok 2: Używamy wzoru na regułę włączeń.
L(Syn lub Córka) = L(Syn) + L(Córka) – L(Syn i Córka)
60 = 50 + 45 – L(Syn i Córka)
60 = 95 – L(Syn i Córka)
L(Syn i Córka) = 95 – 60 = 35
Odpowiedź: 35 nauczycieli ma syna i córkę.

Zadanie 3: W klasie 30 uczniów, 15 lubi matematykę, 20 lubi historię, a 8 lubi oba przedmioty. Ilu uczniów nie lubi żadnego z tych przedmiotów?

Dane:
L(Wszyscy) = 30
L(Matematyka) = 15
L(Historia) = 20
L(Oba) = 8
Szukane: L(Nikt)
Krok 1: Obliczamy, ile osób lubi COKOLWIEK (matematykę LUB historię).
L(Matematyka lub Historia) = L(Matematyka) + L(Historia) – L(Oba)
L(Matematyka lub Historia) = 15 + 20 – 8 = 27
(Tyle osób lubi co najmniej jeden przedmiot).
Krok 2: Obliczamy, ilu jest poza tą grupą.
L(Nikt) = L(Wszyscy) – L(Lubi cokolwiek)
L(Nikt) = 30 – 27 = 3
Odpowiedź: 3 uczniów nie lubi żadnego z tych przedmiotów.

Zadanie 4: Ze 100 turystów 70 zna angielski, 50 zna niemiecki. Ilu turystów zna oba języki, jeśli zakładamy, że każdy zna co najmniej jeden?

Dane:
L(Wszyscy) = 100
L(Angielski) = 70
L(Niemiecki) = 50
“Każdy zna co najmniej jeden” oznacza, że L(Nikt) = 0. Więc L(Angielski lub Niemiecki) = L(Wszyscy) = 100.
Szukane: L(Oba)
Krok 1: Używamy wzoru na regułę włączeń.
L(Angielski lub Niemiecki) = L(Angielski) + L(Niemiecki) – L(Oba)
100 = 70 + 50 – L(Oba)
100 = 120 – L(Oba)
L(Oba) = 120 – 100 = 20
Odpowiedź: 20 turystów zna oba języki.

Inne Typy Zadań (Niestandardowe)

Te zadania wymagają czasem wiedzy z innych działów (teoria liczb, ciągi arytmetyczne).

Zliczanie z warunkami (Ciąg Arytmetyczny)

Schemat: Szukanie liczb spełniających warunek “reszty z dzielenia”. Tworzą one ciąg arytmetyczny (mają stałą różnicę “r”).

Zadanie 1: Ile wśród liczb od 1 do 199 włącznie jest liczb dających resztę 3 przy dzieleniu przez 7?

Analiza: Szukamy liczb postaci “7 razy k + 3”.
Krok 1: Znajdź pierwszą liczbę (a1) w przedziale [1, 199].
Dla k=0: 7 razy 0 + 3 = 3. (Pasuje, jest w przedziale). Pierwszy wyraz a1 = 3.
Krok 2: Znajdź ostatnią liczbę (an) w przedziale.
199 / 7 = 28, reszta 3. Czyli 199 = 28 razy 7 + 3. (Pasuje idealnie). Ostatni wyraz an = 199.
Krok 3: Mamy ciąg arytmetyczny: a1 = 3, an = 199, różnica r = 7. Szukamy “n” (liczby wyrazów).
Używamy wzoru: an = a1 + (n-1) razy r
199 = 3 + (n-1) razy 7
196 = (n-1) razy 7
196 / 7 = 28
28 = n-1
n = 29
Odpowiedź: Jest 29 takich liczb.

Liczba Dzielników (Teoria Liczb)

Schemat: Aby obliczyć, ile dzielników ma liczba, rozkładamy ją na czynniki pierwsze.

Wzór: Jeżeli N = (a do potęgi x) razy (b do potęgi y) … (gdzie a, b to RÓŻNE liczby pierwsze), to liczba dzielników wynosi:

Liczba dzielników = (x+1) razy (y+1) razy …

(Bierzemy wykładniki potęg, dodajemy do każdego 1 i mnożymy wyniki).

Zadanie 2: Ile dzielników naturalnych ma liczba 84?

Krok 1: Rozkład liczby 84 na czynniki pierwsze.
84 / 2 = 42
42 / 2 = 21
21 / 3 = 7
7 / 7 = 1
Czyli 84 = (2 do potęgi 2) razy (3 do potęgi 1) razy (7 do potęgi 1).
Krok 2: Bierzemy wykładniki potęg: 2, 1, 1.
Krok 3: Stosujemy wzór (x+1)(y+1)(z+1)
Liczba dzielników = (2+1) razy (1+1) razy (1+1)
Liczba dzielników = 3 razy 2 razy 2 = 12
Odpowiedź: Liczba 84 ma 12 dzielników naturalnych.

Zadanie 3: Ile jest liczb dwucyfrowych (od 10 do 99) podzielnych przez 4?

Analiza: Szukamy liczb podzielnych przez 4 w przedziale [10, 99]. Tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r=4.
Krok 1: Znajdź pierwszą liczbę (a1) w przedziale.
10/4=2 reszta 2. 11/4=2 reszta 3. 12/4=3. Pierwsza liczba a1 = 12.
Krok 2: Znajdź ostatnią liczbę (an) w przedziale.
99/4 = 24 reszta 3. Cofamy się: 98… 97… 96/4 = 24. Ostatnia liczba an = 96.
Krok 3: Mamy ciąg: a1 = 12, an = 96, r = 4. Szukamy “n”.
Używamy wzoru: an = a1 + (n-1) razy r
96 = 12 + (n-1) razy 4
84 = (n-1) razy 4
84 / 4 = 21
21 = n-1
n = 22
Odpowiedź: Są 22 takie liczby.

Zadanie 4: Ile dzielników naturalnych ma liczba 360?

Krok 1: Rozkład liczby 360 na czynniki pierwsze.
360 = 36 x 10 = (6 x 6) x (2 x 5) = (2 x 3) x (2 x 3) x (2 x 5)
Grupujemy: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5
Czyli 360 = (2 do potęgi 3) razy (3 do potęgi 2) razy (5 do potęgi 1).
Krok 2: Bierzemy wykładniki potęg: 3, 2, 1.
Krok 3: Stosujemy wzór (x+1)(y+1)(z+1)
Liczba dzielników = (3+1) razy (2+1) razy (1+1)
Liczba dzielników = 4 razy 3 razy 2 = 24
Odpowiedź: Liczba 360 ma 24 dzielniki naturalne.