Matura GPS 🧭
Prosty język. Zero dziwnych znaczków.
🛠 Twój Przybornik (Wzory)
Tu zaglądasz, gdy zapomnisz wzoru. Wszystko słownie.
Romb
Gdy masz dwie przekątne (d1 i d2):
Gdy masz bok (a) i wysokość (h):
Trapez
Potrzebujesz góry, dołu i wysokości:
Skala (k)
Jeśli powiększamy figurę k razy:
- Bok / Obwód: rośnie normalnie (k razy).
- POLE: rośnie do kwadratu! (k razy k).
Wzór “Na Sinusa”
Gdy masz przekątne i kąt między nimi:
Przepis: Trapez Równoramienny
Jak to ugryźć?
- Narysuj dwie wysokości.
- Na dole, po bokach, powstaną małe trójkąty.
- Musisz znaleźć ten mały kawałek na dole (nazwijmy go x).
- Wzór na x:
x = (dół odjąć góra) podzielić na 2 - Teraz liczysz Pitagorasa w małym trójkącie:
x² dodać wysokość² = ramię²
W trapezie równoramiennym wysokość ma taką samą długość jak krótsza podstawa i dzieli dłuższą podstawę na odcinki w stosunku 1 do 2. Pole wynosi 162. Oblicz długości podstaw.
Sprawdź rozwiązanie
Krok 1: Oznaczenia
Krótsza podstawa to b. Wysokość h jest taka sama jak b.
Wysokość dzieli dół na kawałek mały (x) i duży. Skoro stosunek 1 do 2, to duży kawałek jest 2 razy dłuższy niż mały.
Krok 2: Odkrycie
W trapezie ten “duży kawałek” na dole to tak naprawdę (x dodać b).
Skoro h=b, a w trapezie równoramiennym (gdzie kąt to 45 stopni) okazuje się, że x=h, to mamy:
- Wysokość h = x
- Górna podstawa b = x
- Dolna podstawa a = 3x (bo składa się z trzech iksów)
Krok 3: Liczymy
Wzór na pole: 162 = (x dodać 3x) podzielić na 2 razy x
162 = (4x podzielić na 2) razy x
162 = 2 razy x do kwadratu
81 = x do kwadratu (dzielimy przez 2)
x = 9
Odpowiedź:
Krótsza podstawa (b) = 9 cm.
Dłuższa podstawa (a) = 3 razy 9 = 27 cm.
Ramię ma 12 cm. Jeden kąt jest 2 razy większy od drugiego. Przekątna jest prostopadła do ramienia. Oblicz pole.
Sprawdź rozwiązanie
Krok 1: Kąty
Suma kątów przy ramieniu to 180.
kąt + 2 razy kąt = 180 -> 3 razy kąt = 180 -> kąt = 60.
Kąt ostry ma 60 stopni.
Krok 2: Własności trójkąta
Przekątna, ramię i podstawa tworzą trójkąt prostokątny.
W takim trójkącie o kątach 90-60-30, krótszy bok (ramię = 12) to POŁOWA najdłuższego.
Więc dolna podstawa a = 12 razy 2 = 24.
Krok 3: Wysokość i Góra
Używamy wzorów na trójkąt:
Wysokość h = 6 pierwiastków z 3.
Mały odcinek na dole (x) to 6.
Górna podstawa b = Dół odjąć 2 razy x = 24 odjąć 12 = 12.
Odpowiedź (Pole):
Pole = (24 dodać 12) podzielić na 2 razy 6 pierwiastków z 3
Pole = 18 razy 6 pierwiastków z 3
Pole = 108 pierwiastków z 3.
Pole = 54 cm², wysokość = 9 cm. Jedna podstawa jest o 5 cm krótsza od drugiej. Oblicz podstawy.
Sprawdź rozwiązanie
Krok 1: Suma podstaw
Wzór: 54 = (suma podstaw) podzielić na 2 razy 9.
Pomnóż razy 2: 108 = (suma podstaw) razy 9.
Podziel przez 9: 12 = suma podstaw.
Czyli: a + b = 12.
Krok 2: Zagadka liczbowa
Szukamy dwóch liczb, które po dodaniu dają 12, a różnią się o 5.
x dodać (x dodać 5) = 12
2x dodać 5 = 12
2x = 7
x = 3,5
Odpowiedź:
Krótsza podstawa: 3,5 cm.
Dłuższa podstawa: 8,5 cm.
Przepis: Skala i Mapa
Pamiętaj o Pułapce! 🚨
-
📏
Zwykła długość: Skala działa normalnie.
Skala 1 do 3 -> dzielisz przez 3. -
🟦
POLE powierzchni:
Musisz użyć skali do kwadratu!
Skala 1 do 3 -> pole dzielisz przez 9 (bo 3 razy 3 to 9).
Pole figury F1 to 144 procent pola figury F. Oblicz skalę k.
Sprawdź rozwiązanie
1. Pole to 144 procent, czyli 1,44.
2. Stosunek PÓL to k do kwadratu.
3. k do kwadratu = 1,44.
4. Musimy obliczyć pierwiastek z 1,44.
Odpowiedź: k = 1,2.
Działka 50m na 40m. Skala 1 do 2000. Ile cm kwadratowych zajmie na planie?
Sprawdź rozwiązanie
Krok 1: Zamiana na cm
50 m = 5000 cm.
40 m = 4000 cm.
Krok 2: Skalowanie boków
Dzielimy każdy bok przez 2000.
Bok 1: 5000 podzielić na 2000 = 2,5 cm.
Bok 2: 4000 podzielić na 2000 = 2 cm.
Odpowiedź (Pole):
2,5 razy 2 = 5 cm kwadratowych.
Skala 1 do 2 000 000. Pole na mapie 3,1 cm kwadratowych. Ile w rzeczywistości (w km kwadratowych)?
Sprawdź rozwiązanie
Krok 1: Skala w km
1 cm na mapie to 2 000 000 cm w terenie.
Skreślamy 5 zer (żeby mieć kilometry):
1 cm -> 20 km.
Krok 2: Skala POLA
Skoro 1 cm to 20 km, to:
1 cm KWADRATOWY to 20 razy 20 km kwadratowych.
1 cm kw. = 400 km kw.
Krok 3: Wynik
Mamy 3,1 takich kwadratów.
3,1 razy 400 = 1240.
Odpowiedź: 1240 km kwadratowych.
Przepis: Romb
Triki:
- Przekątne tworzą krzyż (kąt 90 stopni).
- Przekątne dzielą się na połowy.
- Połowa jednej przekątnej, połowa drugiej i BOK tworzą trójkąt prostokątny (Pitagoras!).
Przekątne rombu: 10 i 24. Oblicz wysokość.
Sprawdź rozwiązanie
Krok 1: Pole
Wzór z przekątnymi: (10 razy 24) podzielić na 2 = 120.
Krok 2: Bok
Bierzemy połówki przekątnych: 5 i 12.
Pitagoras: 5 do kwadratu dodać 12 do kwadratu = bok do kwadratu.
25 dodać 144 = 169.
Bok = 13 (bo pierwiastek z 169 to 13).
Krok 3: Wysokość
Drugi wzór na pole: Pole = bok razy wysokość.
120 = 13 razy h.
h = 120 podzielić na 13 = około 9,23.
Pole rombu = 16. Kąt rozwarty jest 3 razy większy niż kąt ostry. Oblicz bok.
Sprawdź rozwiązanie
Krok 1: Kąty
Suma kątów przy boku = 180.
kąt dodać 3 razy kąt = 180 -> 4 razy kąt = 180 -> kąt = 45.
Kąt ostry = 45 stopni.
Krok 2: Wzór z sinusem
Dla rombu: Pole = bok do kwadratu razy sinus kąta.
16 = bok do kwadratu razy sinus 45 stopni.
16 = bok do kwadratu razy (pierwiastek z 2 przez 2).
Mnożymy razy 2: 32 = bok do kwadratu razy pierwiastek z 2.
bok do kwadratu = 32 podzielić na pierwiastek z 2 = 16 pierwiastków z 2.
Bok to pierwiastek z tego wyniku.
Przepis: Sinusy
Magiczny Wzór:
Przekątne 8 i 10. Pole 20. Oblicz kąt.
Sprawdź rozwiązanie
20 = 0,5 razy 8 razy 10 razy sinus kąta
20 = 40 razy sinus kąta
sinus kąta = 20 podzielić na 40 = 0,5
Patrzymy w tablice maturalne:
Sinus wynosi 0,5 dla kąta 30 stopni.
Boki równoległoboku 6 i 13. Kąt 30 stopni. Oblicz pole.
Sprawdź rozwiązanie
W równoległoboku wzór to po prostu: a razy b razy sinus kąta.
Pole = 6 razy 13 razy sinus 30 stopni
Pole = 78 razy 0,5
Pole = 39.
