Suma kątów w każdym czworokącie = 360°. Więc:

Upraszczam lewą stronę:

Wyliczam wszystkie kąty:

Sprawdzenie: 46,6° + 129,9° + 27° + 156,5° = 360° ✓

Kluczowa właściwość trapezu: kąty przy tym samym ramieniu są suplementarne (sumują się do 180°). Więc: ∠A + ∠D = 180° (przy ramieniu AD).

∠A = 150°, więc: ∠D = 180° − 150° = 30°

Skoro ∠B + ∠D = 110°, to: ∠B = 110° − 30° = 80°

∠C = 180° − ∠B = 180° − 80° = 100° (kąty przy ramieniu BC)

Sprawdzenie: 150° + 80° + 100° + 30° = 360° ✓

Cztery kąty tworzą ciąg arytmetyczny: a, a+r, a+2r, a+3r, gdzie a = 54°

Suma czterech wyrazów ciągu arytmetycznego = 4 · (średnia skrajnych) = 4 · (a + a+3r)/2 = 2(2a + 3r)

Wstawiam a = 54°:

Kąty: 54°, 78°, 102°, 126°. Suma: 360° ✓

Kluczowe twierdzenie: W czworokącie wpisanym w okrąg naprzeciwległe kąty są suplementarne: ∠K + ∠M = 180° i ∠L + ∠N = 180°.

Niech ∠M = x. Wtedy ∠K = 8x. Z warunku ∠K + ∠M = 180°:

∠M = 20°, ∠K = 160°

Niech ∠L = y, ∠N = y + 34° (lub y − 34°). Z warunku ∠L + ∠N = 180°:

∠L = 73°, ∠N = 107°

Obwód: L = 2(a + b) = 44, więc a + b = 22. Skoro a = 10, to b = 22 − 10 = 12 cm.

Przekątna prostokąta = Pitagoras:

Przekątna AC dzieli prostokąt na dwa trójkąty. Trójkąt ACD ma podstawę AC i wysokość = szukana odległość h.

Obliczam przekątną: |AC| = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13

Pole trójkąta ACD = połowa pola prostokąta:

Ten sam trójkąt ACD z podstawą AC i wysokością h:

Stąd: h = 60/13

Niech dłuższy bok = a, krótszy = b. Obwód: 2(a + b) = 142, więc a + b = 71.

Przekątna d = a + 1. Z Pitagorasa: d² = a² + b², więc:

Z a + b = 71 mam b = 71 − a. Wstawiam:

Δ = 144² − 4·5040 = 20736 − 20160 = 576, √Δ = 24

Dla a = 60: b = 71 − 60 = 11 cm. Sprawdzam: d = 61, 60² + 11² = 3600 + 121 = 3721 = 61² ✓
Dla a = 84: b = 71 − 84 < 0 — odpada.

Rzuty ramion na podstawę: tg α = h/x_A → x_A = h/tg α = 2/1 = 2. Tg β = h/x_B → x_B = h/tg β = 2/2 = 1.

Krótsza podstawa: CD = AB − x_A − x_B = 6 − 2 − 1 = 3

Ramiona (Pitagoras):

Przekątne. Ustawiam układ: A=(0,0), B=(6,0), D=(2,2), C=(5,2).

Odległość przecięcia przekątnych od AB. Przekątne dzielą się w stosunku podstaw (CD:AB = 3:6 = 1:2). Punkt przecięcia leży na wysokości:

Prościej: przekątne w trapezie przecinają się w stosunku AB:CD = 6:3 = 2:1. Punkt N dzieli BD tak, że BN:ND = 2:1. Wysokość N = h · (1/(2+1)) = 2/3 · h… Sprawdzamy analitycznie: parametrycznie AC: (0,0)+t·(5,2); BD: (6,0)+s·(-4,2). 5t = 6−4s i 2t = 2s → t = s. 5t = 6−4t → 9t = 6 → t = 2/3. Wysokość N = 2·(2/3) = 4/3.

Opuszczam wysokości z D i C na AB. Niech rzut lewego ramienia = x, prawego = y. Wtedy x + 7 + y = 28, więc x + y = 21.

Z Pitagorasa dla obu trójkątów:

Odejmuję pierwsze od drugiego: y² − x² = 189 → (y−x)(y+x) = 189. Wiadomo, że x + y = 21, więc: (y−x)·21 = 189 → y − x = 9.

Układ: x + y = 21, y − x = 9 → y = 15, x = 6

Wysokość: h² = 100 − x² = 100 − 36 = 64 → h = 8 cm

Trapez ma podstawy a (dłuższa) i b = 6 cm (krótsza), ramiona c = d = 6 cm. Kąty przy dłuższej podstawie = 180° − 120° = 60° (bo kąty przy ramieniu sumują się do 180°). Kąty przy krótszej = 120°.

Rzut ramienia na podstawę (przy kącie 60°): x = c · cos 60° = 6 · ½ = 3 cm. Po obu stronach, więc łączny rzut = 6 cm.

Dłuższa podstawa: a = b + 2x = 6 + 6 = 12 cm

Sprawdzenie: h = c · sin 60° = 6 · (√3/2) = 3√3 cm. P = (6+12)·3√3/2 = 27√3 cm².

Kluczowy fakt: Przekątne trapezu dzielą się w punkcie przecięcia w stosunku długości podstaw. Trójkąty ABN i CDN są podobne (kąty wierzchołkowe + kąty naprzemianległe przy równoległych podstawach).

Stosunek podobieństwa k = BN/DN = 4/16 = 1/4. Sprawdzam: CN/AN powinno też wynosić 1/4? Nie — bo CN i AN należą do tej samej przekątnej AC, więc: AN/CN = BN/DN = 4/16 = 1/4.

AN = (BN/DN) · CN = (4/16) · 12 = 3

AB/CD = BN/DN = 4/16 = 1/4. Więc: AB = CD/4 = 20/4 = 5

Trapez prostokątny ABCD: ∠A = 90° (krótsze ramię AD ⊥ AB). Kąt 120° jest przy wierzchołku B (bo ∠B + ∠A = 180° w trapezie, ale ∠A = 90°, więc ∠B = 90° — nie pasuje). Więc 120° jest przy D: ∠D = 120°, ∠C = 60°.

Oznaczenia: AB = a (dłuższa podstawa), CD = 3 (krótsza podstawa), BC = 4 (dłuższe ramię), AD = h (krótsze ramię = wysokość).

Opuszczam wysokość z C na AB (punkt E). W trójkącie BCE: kąt przy B = 180° − 90° = 90°? Nie. Kąt ∠CBE: bo ∠ABC = 180° − 120° = 60° (kąty przy ramieniu BC w trapezie). W trójkącie prostokątnym BCE (∠BEC = 90°):

Dłuższa podstawa: AB = CD + CE_poziome = 3 + 2 = 5 cm (bo AD = h = CE i trapez ma kąt prosty przy A).

Krótsza przekątna to AC (od lewego górnego do prawego dolnego). W układzie: A=(0,0), B=(5,0), D=(0,2√3), C=(3,2√3).

Twierdzenie: z każdego wierzchołka odcinki do punktów styczności okręgu wpisanego są równe. Niech punkty styczności z bokami AB, BC, CD, DA to odpowiednio P, Q, R, S.

Oznaczam: |AP| = |AS| = p, |BP| = |BQ| = q, |CQ| = |CR| = r, |DR| = |DS| = s.
Trapez prostokątny: ∠A = 90°, AD = 6 (krótsze ramię), CD = 4.

Dla okręgu wpisanego w trapez prostokątny musi zachodzić: AB + CD = AD + BC (suma przeciwległych boków równa się).

Z wierzchołka A: p = |AP| = |AS|. Z ∠A = 90°, promień okręgu r₀ = p (okrąg styczny do obu ramion kąta prostego od strony wewnętrznej). Więc p = r₀.
Z D: s. Z C: r. Z B: q.
AD = p + s = 6, CD = s + r = 4, AB = p + q.

W trapezie prostokątnym z ∠A = 90°: promień okręgu wpisanego = (AD + CD − BC + AB)/2… Prościej: r₀ = p (styczna z A do obydwu prostopadłych boków) = AD/2 nie jest prawdą ogólnie. Użyję układu: p + s = 6, s + r = 4. Z AB − BC = 2: (p+q) − (q+r) = p − r = 2. Więc p = r + 2. Z CD: s + r = 4. Z AD: p + s = 6 → (r+2) + s = 6 → r + s = 4 ✓. Potrzeba jeszcze jednego warunku: w trapezie prostokątnym BC = h (wysokość jest pionowe ramię). Obliczam h: wysokość = AD bo AD ⊥ AB. Więc BC = √(h’²+ różnica²)… Dla trapezu prostokątnego: h = AD = 6 (jeśli AD ⊥ AB). Wtedy BC = √((AB−CD)² + AD²)/… Przyjmijmy r₀ = AD − r_z_okr. Wzór dla trapezu prostokątnego: r₀ = (AD + CD − BC)/2 = CD/2 gdy jest równoramienny… Używam bezpośrednio: p − r = 2 i dowolnie np. r = t, p = t+2, s = 4−t. Muszę wyznaczyć t.

BC = q + r. Trójkąt prostokątny (rzut): BC² = AD² + (AB−CD)² = 36 + (AB−4)². AB = p+q = (t+2)+q, BC = q+t. AB−CD = (t+2+q)−4 = q+t−2 = BC−2. Więc BC² = 36+(BC−2)² → BC²=36+BC²−4BC+4 → 4BC=40 → BC=10.

AB = CD + (BC−AD) = 4 + (10−6) = 8. Teraz: q+r = 10, p+q = 8, p+s = 6, s+r = 4. Z p−r=2 i q+r=10: q = 10−r = 10−(p−2) = 12−p. p+q=8 → p+12−p=8 → 12=8 — sprzeczność. Przepisuję: r₀ = AD/2 sprawdzam: s=4−r, p=r+2, q=8−p=6−r. r+s=r+4−r=4 ✓, p+s=r+2+4−r=6 ✓, BC=q+r=6−r+r=6 ≠ 10. Błąd w BC. Wracam: BC jest dłuższym ramieniem. h = AD = 6 (prostokątny przy A). Obliczam BC: odległość pozioma między C a B = AB − CD = AB − 4. BC = √(6² + (AB−4)²). Z sumy boków: AB + 4 = 6 + BC. AB − BC = 2. Niech AB = m. BC = m−2. (m−2)² = 36 + (m−4)² → m²−4m+4 = 36+m²−8m+16 → 4m = 48 → m = 12. AB = 12, BC = 10.

Teraz styczne: p+q=12, q+r=10, r+s=4, s+p=6. Dodaję wszystkie: 2(p+q+r+s)=32 → p+q+r+s=16. Stąd: s=16−12=4, r=16−6=10… Hmm. Dodaję równania: (p+q)+(r+s)=12+4=16 i (q+r)+(s+p)=10+6=16 ✓. Odejmuję: (p+q)−(r+s)=12−4=8=p−r+q−s. Odejmuję pary: (p+q)−(q+r)=p−r=2 ✓. I: (s+p)−(r+s)=p−r=2 ✓. Pozostaje jeden stopień swobody? Nie: 4 równania, 4 niewiadome. p−r=2, q−s=6. Z p+s=6 i p=r+2: r+2+s=6, r+s=4. Z q+r=10: q=10−r. Z q−s=6: (10−r)−s=6 → r+s=4 ✓ (spójne, ale nierozwiązalne jednoznacznie!). Jednak pytanie dotyczy tylko dłuższego ramienia BC — dzieli je punkt Q na BQ=q i QC=r.

W trapezie prostokątnym przy wierzchołku A (kąt 90°): promień r₀ = p (odcinki styczne z A są równe i oba boki przy A są prostopadłe, więc środek okręgu jest w odległości r₀ od obu). Wtedy p = r₀. Środek okręgu: (r₀, r₀). Odległość od CD (y = AD = 6): r₀ = 6 − r₀ → r₀ = 3. Więc p = 3, s = 6 − 3 = 3. Nie, bo s = AD − p = 6 − 3 = 3, ale s + r = 4 → r = 1. q = 10 − r = 9. Sprawdzenie: p + q = 3 + 9 = 12 = AB ✓.

Dłuższe ramię BC podzielone przez punkt Q na: BQ = q = 9 cm i QC = r = 1 cm.

Pole równoległoboku: P = a·h₁ = b·h₂. Z tego: a/b = h₂/h₁ = 3/2 (stosunek odwrotny do stosunku wysokości!).

Niech a = 3k i b = 2k. Obwód: 2(a + b) = 60 → a + b = 30.

a = 18 cm, b = 12 cm

Przekątne rombu przecinają się prostopadle i dzielą na połowy. d₁ = 6 cm, więc d₁/2 = 3 cm. Bok rombu: a = ½·√(d₁² + d₂²).

Pole z wysokości: P = a·h. Pole z przekątnych: P = d₁·d₂/2. Ale najpierw potrzebuję boku a. Tymczasem mam też: P = d₁·d₂/2 i P = a·4,8. Szukam d₂.

W trójkącie z połówek przekątnych (ramiona d₁/2 = 3 i d₂/2) i bokiem a. Mam też h = 4,8. W rombie o kącie ostrym α: h = a·sin α. I d₁ = 2a·sin(α/2), d₂ = 2a·cos(α/2)… Prościej: bok a obliczam z h = 4,8 i trójkąta. Pole = a·h = d₁·d₂/2. Niech x = d₂/2. Bok rombu: a = √(9 + x²). Pole dwoma sposobami:

4,8·√(9+x²) = 6x → 23,04·(9+x²) = 36x² → 207,36 + 23,04x² = 36x² → 12,96x² = 207,36 → x² = 16 → x = 4.

d₂ = 2x = 8 cm. Bok: a = √(9+16) = √25 = 5 cm.

Sin kąta ostrego: sin α = h/a = 4,8/5 = 24/25.

Niech boki to a i b = a + 1. Kąt rozwarty = 120°, kąt ostry = 60°. Krótsza przekątna jest naprzeciwko kąta ostrego (60°).

Twierdzenie cosinusów dla trójkąta z bokami a, b i przekątną d₁:

Rozwijam:

Δ = 1 + 120 = 121, √Δ = 11. a = (−1+11)/2 = 5 (odrzucam ujemne).

b = a + 1 = 6 cm. Sprawdzenie: d₁² = 25 + 36 − 2·5·6·½ = 61 − 30 = 31 ✓

Deltoid: dwa pary równych sąsiednich boków. Np. AB = AD = 15 i CB = CD = 13. Oś symetrii to przekątna AC, która prostopadle przecina BD w połowie.

Przekątna BD (krótka, dzielona na połowy): niech N = punkt przecięcia. BN = ND = d₂/2. Przekątna AC (długa): AN i NC mogą być różne. Punkt N dzieli AC na odcinki różniące się o 4: |AN − NC| = 4.

Niech AN = p, NC = q, BN = r. Przekątne prostopadłe → trójkąty prostokątne.
Z trójkąta ABN: p² + r² = 15² = 225
Z trójkąta CBN: q² + r² = 13² = 169

Odejmuję: p² − q² = 225 − 169 = 56. Warunek: p − q = 4 (lub q − p = 4). Niech p > q: p − q = 4.

p = 9, q = 5. Sprawdzam: r² = 225 − 81 = 144 → r = 12. Check: 25 + 144 = 169 = 13² ✓

Przekątna AC = p + q = 14 cm. Przekątna BD = 2r = 24 cm.

Skala k = 5/4 oznacza: każdy wymiar K₁ = (5/4) · odpowiedni wymiar K.

Przekątna K₁ = 15 cm. Przekątna K = 15 · (4/5) = 12 cm.

Bok kwadratu K z przekątnej d = 12: a = d/√2 = 12/√2 = 12·√2/2 = 6√2 cm

Niech krótsza przekątna d₁ = 2t, dłuższa d₂ = 6t (stosunek 1:3).

Bok rombu z Pitagorasa: a = ½·√(d₁² + d₂²) = ½·√(4t² + 36t²) = ½·√(40t²) = ½·2t√10 = t√10

Szukany stosunek: a/d₂ = t√10 / 6t = √10/6. Ale podana odpowiedź to √10/8… Sprawdzam: d₁ = 2t → połowa to t. d₂ = 6t → połowa to 3t. a = √(t² + 9t²) = t√10. Stosunek = t√10 / 6t = √10/6.

Hmm, odpowiedź w kluczu to √10/8. Sprawdzam inaczej: może d₂ = 3·d₁. Niech d₁ = 2x, d₂ = 6x. a = √(x²+(3x)²) = x√10. a/d₂ = x√10/(6x) = √10/6. Klucz podaje √10/8, więc może definicja inna: bok a = ½√(d₁²+d₂²) i szukamy a/d₂ przy d₂=4d₁. Dla d₂=4d₁=4x, d₁=x: a=½√(x²+16x²)=½x√17. a/d₂=(½x√17)/(4x)=√17/8. To dla ZR gr B. Dla ZR gr A: d₂=3d₁. Niech d₁=2, d₂=6. a=√(1²+3²)=√10. a/d₂=√10/6. Sprawdzam czy √10/6 < 2/5: 5√10 < 12 → √10 < 2,4 → 10 < 5,76 — FAŁSZ. Zatem stosunek to √10/8, czyli użyto d₁=2x, d₂=6x i a=½√(4x²+36x²)=½·x·√40=x√10. a/d₂=x√10/(6x)=√10/6 ≈ 0,527 > 0,4. To nie 2/5 = 0,4. Klucz mówi √10/8 < 2/5 = 0,4. Chyba d₂ jest CAŁĄ (nie połową), i a=½√(d₁²+d₂²) z d₁=x, d₂=3x: a=½√(x²+9x²)=½x√10. a/d₂=½x√10/(3x)=√10/6. Ale klucz mówi √10/8... Niech d₂=4x: a=½√(x²+16x²)=½x√17, a/d₂=√17/8. To gr B. Dla gr A z d₂=3d₁: stosunek=√10/6. Prawdopodobnie w kluczu jest błąd drukarki lub inne podstawienie. Rozwiążę poprawnie:

Poprawne rozwiązanie (d₂ = 3·d₁): szukany stosunek = √10/6.
Wykazuję √10/6 < 2/5:
Jest to równoważne 5√10 < 12, tzn. 25·10 < 144, tzn. 250 < 144 — FAŁSZ!
Zatem to twierdzenie jest FAŁSZYWE dla 3× dłuższej. Sprawdzam: d₂ = 3d₁, a = ½√(d₁²+d₂²) = ½√10 · d₁. a/d₂ = ½√10/(3) = √10/6 ≈ 0,527 > 0,4.
Klucz podaje √10/8 — to możliwe gdy: a/d₁ (nie a/d₂!) = x√10/(2x·4/…) Lub: dłuższa przekątna = 4 razy krótsza w gr B → stosunek √17/8 ≈ 0,515 > 0,4 (to gr B). Dla gr A stosunek = √10/6 i twierdzenie odwrotne (stosunek < coś większego od √10/6). Klucz Pazdro podaje √10/8 dla gr A — to przekładnia d₂ = 3d₁ ale stosunek do sumy lub inaczej. Dajemy uczniowi obie wersje.

Tok dowodu (wersja ogólna): Niech d₁ = 2t, d₂ = 6t (d₂ = 3·d₁). Bok: a = ½√(4t²+36t²) = t√10. Stosunek a/d₂ = √10/6. Wykazuję √10/6 < 2/5 ↔ 5√10 < 12 ↔ √250 < √144 — to fałszywe. Uwaga: w kluczu Pazdro prawdopodobnie chodzi o inny stosunek. Kluczowa metoda: 1) wyraź przez t, 2) upraszczaj, 3) sprowadź nierówność do postaci bez pierwiastków i sprawdź.

Kluczowa obserwacja: ∠DAB = 90° i ∠BCD = 90°. Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy = 90°. Zatem punkty A i C leżą na okręgu, którego średnicą jest BD!

Na tym okręgu mamy kąty wpisane ∠CAB i ∠DBC, oba oparte na tym samym łuku CD (po tej samej stronie cięciwy)? Nie — ∠CAB oparty na łuku BC (widziany z A), ∠BDC oparty na łuku BC (z D).

Wszystkie cztery punkty A, B, C, D leżą na okręgu z BD jako średnicą. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Kąt ∠DBC = 25° jest oparty na łuku DC (widoczny z B). Kąt ∠DAC oparty na tym samym łuku DC (widoczny z A) — też = 25°.

∠DAB = 90° = ∠DAC + ∠CAB. Więc: ∠CAB = 90° − ∠DAC = 90° − 25° = 65°.