Bank Zadań: Czworokąty
Klasa 3 LO – Zakres Podstawowy i Rozszerzony
WERSJA 1 (Standardowa)
Zadanie 1. (2 pkt)
Wewnętrzne kąty czworokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny. Najmniejszy kąt ma miarę \(54^\circ\). Wyznacz miarę największego kąta tego czworokąta.
Suma kątów w czworokącie wynosi \(360^\circ\). Kąty: \(a_1, a_1+r, a_1+2r, a_1+3r\).
\(S_4 = \frac{2a_1 + 3r}{2} \cdot 4 = 360^\circ\)
\(2(108^\circ + 3r) = 360^\circ \Rightarrow 108^\circ + 3r = 180^\circ \Rightarrow 3r = 72^\circ \Rightarrow r = 24^\circ\).
Największy kąt: \(a_4 = 54^\circ + 3 \cdot 24^\circ = 126^\circ\).
Zadanie 2. (4 pkt)
Boki równoległoboku mają długości \(6\) i \(10\). Oblicz wysokości tego równoległoboku wiedząc, że wysokości poprowadzone z wierzchołka kąta rozwartego tworzą kąt \(60^\circ\).
Kąt między wysokościami równoległoboku wychodzącymi z wierzchołka kąta rozwartego jest równy kątowi ostremu równoległoboku (\(\alpha = 60^\circ\)).
\(h_1 = 10 \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\).
\(h_2 = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\).
Zadanie 3. (4 pkt)
W trapezie równoramiennym krótsza podstawa i ramiona mają długość \(13\). Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość \(6\sqrt{13}\), oblicz cosinus kąta rozwartego tego trapezu.
Niech \(b=c=13, d=6\sqrt{13}\). W trapezie równoramiennym rzut przekątnej na dłuższą podstawę \(p = \frac{a+b}{2}\).
Z tw. cosinusów w trójkącie z bokami \(c, b, d\) (kąt rozwarty \(\beta\)):
\(d^2 = c^2 + b^2 – 2cb \cdot \cos\beta\)
\((6\sqrt{13})^2 = 13^2 + 13^2 – 2 \cdot 13 \cdot 13 \cdot \cos\beta\)
\(36 \cdot 13 = 169 + 169 – 338\cos\beta \Rightarrow 468 = 338 – 338\cos\beta\)
\(130 = -338\cos\beta \Rightarrow \cos\beta = -\frac{130}{338} = -\frac{5}{13}\).
WERSJA 2 (Trygonometryczna)
Zadanie 1. (3 pkt)
Czworokąt \(KLMN\) jest wpisany w okrąg. Kąt przy wierzchołku \(K\) jest \(8\) razy większy od kąta przy wierzchołku \(M\). Wyznacz miary obu tych kątów.
W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów wynosi \(180^\circ\).
\(\angle K + \angle M = 180^\circ\). Wiemy, że \(\angle K = 8 \cdot \angle M\).
\(8\angle M + \angle M = 180^\circ \Rightarrow 9\angle M = 180^\circ \Rightarrow \angle M = 20^\circ\).
\(\angle K = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ\).
Zadanie 2. (4 pkt)
W równoległoboku \(ABCD\) bok \(AB\) ma długość \(6\), a wysokość \(DE\) ma długość \(4\). Wiedząc, że kąt ostry \(DAB\) ma miarę \(45^\circ\), oblicz długość boku \(AD\) oraz przekątnej \(AC\).
1. \(h = AD \cdot \sin(45^\circ) \Rightarrow 4 = AD \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow AD = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\).
2. Przekątna \(AC\): Kąt przy wierzchołku \(B\) wynosi \(180^\circ – 45^\circ = 135^\circ\).
Z tw. cosinusów w \(\triangle ABC\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(135^\circ)\).
\(AC^2 = 6^2 + (4\sqrt{2})^2 – 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 36 + 32 + 48 = 116\).
\(AC = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}\).
WERSJA 3 (Zastosowania)
Zadanie 1. (3 pkt)
Wyznacz wysokość trapezu, którego podstawy mają długości \(28\) cm i \(7\) cm, a ramiona mają długości \(10\) cm i \(17\) cm.
Przesuwamy ramię \(d=17\) tak, by zaczynało się w tym samym punkcie co \(c=10\). Powstaje trójkąt o bokach \(10, 17\) oraz podstawie \(28-7=21\).
Obliczamy pole tego trójkąta wzorem Herona: \(s = (10+17+21)/2 = 24\).
\(P = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84\).
\(P = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h \Rightarrow 84 = 10.5h \Rightarrow h = 8\) cm.
Zadanie 2. (4 pkt)
Kąt ostry równoległoboku wynosi \(60^\circ\). Dłuższa przekątna ma długość \(5\sqrt{3}\) i tworzy z krótszym bokiem kąt \(45^\circ\). Oblicz obwód tego czworokąta.
Rozważamy trójkąt utworzony przez dwa boki i dłuższą przekątną. Kąty w tym trójkącie to \(45^\circ\) (przy przekątnej i boku \(b\)) oraz \(180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\) (między bokami).
Trzeci kąt trójkąta: \(180^\circ – (120^\circ + 45^\circ) = 15^\circ\).
Z tw. sinusów: \(\frac{b}{\sin(15^\circ)} = \frac{5\sqrt{3}}{\sin(120^\circ)}\).
Obliczamy boki i sumujemy: \(Obw = 2(a+b)\).
*(Uwaga: w zadaniach tego typu często korzystamy z przybliżeń lub wartości \(\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)).*