Ciągi Liczbowe – Wszystkie Zadania
Pełne zestawy Grupa A i Grupa B z objaśnieniami krok po kroku.
Zadanie 1
\( a_n = \frac{3n-33}{n+2} \). Oblicz \( a_4 \) i sprawdź, które wyrazy są \( > 1,5 \).
Rozwiązanie
1. Liczymy \( a_4 \): Podstawiamy \( n=4 \).
\( a_4 = \frac{3 \cdot 4 – 33}{4+2} = \frac{12-33}{6} = \frac{-21}{6} = \mathbf{-3,5} \)
\( a_4 = \frac{3 \cdot 4 – 33}{4+2} = \frac{12-33}{6} = \frac{-21}{6} = \mathbf{-3,5} \)
2. Nierówność: \( \frac{3n-33}{n+2} > 1,5 \)
\( 3n – 33 > 1,5(n+2) \implies 3n – 33 > 1,5n + 3 \)
\( 1,5n > 36 \implies n > 24 \). Odp: n > 24.
\( 3n – 33 > 1,5(n+2) \implies 3n – 33 > 1,5n + 3 \)
\( 1,5n > 36 \implies n > 24 \). Odp: n > 24.
Zadanie 2
Ciąg arytmetyczny: \( a_1=5, a_3=10 \). Szukamy \( a_7 \) i \( S_{24} \).
Rozwiązanie
1. Różnica: \( a_3 = a_1 + 2r \implies 10 = 5 + 2r \implies r = 2,5 \).
2. \( a_7 \): \( a_7 = a_1 + 6r = 5 + 6 \cdot 2,5 = 5 + 15 = \mathbf{20} \).
3. Suma: \( a_{24} = 5 + 23 \cdot 2,5 = 62,5 \).
\( S_{24} = \frac{5+62,5}{2} \cdot 24 = 33,75 \cdot 24 = \mathbf{810} \).
\( S_{24} = \frac{5+62,5}{2} \cdot 24 = 33,75 \cdot 24 = \mathbf{810} \).
Zadanie 3
Suma: \( 51+55+59+…+223 \).
Rozwiązanie
1. Ile wyrazów? \( a_1=51, r=4, a_n=223 \).
\( 223 = 51 + (n-1) \cdot 4 \implies 172 = (n-1) \cdot 4 \implies 43 = n-1 \implies n=44 \).
\( 223 = 51 + (n-1) \cdot 4 \implies 172 = (n-1) \cdot 4 \implies 43 = n-1 \implies n=44 \).
2. Suma: \( S_{44} = \frac{51+223}{2} \cdot 44 = 137 \cdot 44 = \mathbf{6028} \).
Zadanie 4
Ciąg geometryczny: \( a_2=7, a_4=28 \). Podaj \( q \) i wzór ogólny.
Rozwiązanie
1. Iloraz: \( a_4 = a_2 \cdot q^2 \implies 28 = 7 \cdot q^2 \implies q^2 = 4 \implies q=2 \) lub \( q=-2 \).
2. Wzory:
Dla \( q=2, a_1 = 3,5 \implies a_n = 3,5 \cdot 2^{n-1} \).
Dla \( q=-2, a_1 = -3,5 \implies a_n = -3,5 \cdot (-2)^{n-1} \).
Dla \( q=2, a_1 = 3,5 \implies a_n = 3,5 \cdot 2^{n-1} \).
Dla \( q=-2, a_1 = -3,5 \implies a_n = -3,5 \cdot (-2)^{n-1} \).
Zadanie 5 (Sektor A)
\( r=6, n=30, a_{30}=246 \). Oblicz \( a_1 \) i \( S_{30} \).
Rozwiązanie
1. Pierwszy rząd: \( 246 = a_1 + 29 \cdot 6 \implies 246 = a_1 + 174 \implies a_1 = \mathbf{72} \).
2. Cały sektor: \( S_{30} = \frac{72+246}{2} \cdot 30 = 159 \cdot 30 = \mathbf{4770} \).
Zadanie 6 (Rekurencja)
\( a_1 = -2 \), \( a_{n+1} = a_n – (-1)^n \cdot n \). Oblicz \( a_3 \) i \( a_5 \).
Rozwiązanie
Tu musimy liczyć po kolei, każdy krok zależy od poprzedniego!
\( a_2 = a_1 – (-1)^1 \cdot 1 = -2 – (-1) \cdot 1 = -2 + 1 = -1 \).
\( a_3 = a_2 – (-1)^2 \cdot 2 = -1 – (1) \cdot 2 = -1 – 2 = \mathbf{-3} \).
\( a_4 = a_3 – (-1)^3 \cdot 3 = -3 – (-1) \cdot 3 = -3 + 3 = 0 \).
\( a_5 = a_4 – (-1)^4 \cdot 4 = 0 – (1) \cdot 4 = \mathbf{-4} \).
\( a_3 = a_2 – (-1)^2 \cdot 2 = -1 – (1) \cdot 2 = -1 – 2 = \mathbf{-3} \).
\( a_4 = a_3 – (-1)^3 \cdot 3 = -3 – (-1) \cdot 3 = -3 + 3 = 0 \).
\( a_5 = a_4 – (-1)^4 \cdot 4 = 0 – (1) \cdot 4 = \mathbf{-4} \).
Zadanie 7 (Bank)
Kapitał po 4 latach: 6816,14 zł. Stopa 7%, kapitalizacja roczna. Jaki wkład?
Rozwiązanie
\( K = K_0 \cdot (1 + 0,07)^4 \implies 6816,14 = K_0 \cdot (1,07)^4 \).
\( K_0 = 6816,14 / 1,310796 \approx \mathbf{5200\,zł} \).
\( K_0 = 6816,14 / 1,310796 \approx \mathbf{5200\,zł} \).
Zadanie 8 (Arek w Banku)
6400 zł. 1 rok: 6% (co pół roku). 2 lata: 4% (co rok). Czy odsetki > 1000?
Rozwiązanie
1. Po pierwszym roku: Kapitalizacja co pół roku (2 razy).
Oprocentowanie półroczne = 3%.
\( K_1 = 6400 \cdot (1,03)^2 = 6400 \cdot 1,0609 = 6789,76 \).
Oprocentowanie półroczne = 3%.
\( K_1 = 6400 \cdot (1,03)^2 = 6400 \cdot 1,0609 = 6789,76 \).
2. Po kolejnych dwóch latach: Kapitalizacja co rok.
\( K_3 = 6789,76 \cdot (1,04)^2 = 6789,76 \cdot 1,0816 = 7343,80 \).
\( K_3 = 6789,76 \cdot (1,04)^2 = 6789,76 \cdot 1,0816 = 7343,80 \).
3. Odsetki: \( 7343,80 – 6400 = 943,80 \).
Odp: Nie, zarobił 943,80 zł.
Odp: Nie, zarobił 943,80 zł.
Zadanie 9 (Dowód)
Wykaż, że \( a_n = \frac{3-2n}{5} \) jest arytmetyczny.
Rozwiązanie
Idea: Musimy policzyć \( a_{n+1} – a_n \). Jeśli wyjdzie stała liczba, ciąg jest arytmetyczny.
\( a_{n+1} = \frac{3-2(n+1)}{5} = \frac{3-2n-2}{5} = \frac{1-2n}{5} \).
\( a_{n+1} – a_n = \frac{1-2n}{5} – \frac{3-2n}{5} = \frac{1-2n-3+2n}{5} = \frac{-2}{5} \).
Wynik to stała liczba (\(-0,4\)), więc ciąg jest arytmetyczny.
\( a_{n+1} = \frac{3-2(n+1)}{5} = \frac{3-2n-2}{5} = \frac{1-2n}{5} \).
\( a_{n+1} – a_n = \frac{1-2n}{5} – \frac{3-2n}{5} = \frac{1-2n-3+2n}{5} = \frac{-2}{5} \).
Wynik to stała liczba (\(-0,4\)), więc ciąg jest arytmetyczny.
