Wielki Przewodnik Matematyczny
Przejrzyste i proste rozwiązania wszystkich zadań ze sprawdzianu.
Zadanie 1: Dokładnie jedna piątka
Ile jest liczb 3-cyfrowych, w których cyfra 5 występuje TYLKO jeden raz?
Sytuacja 1: Piątka jest na początku [5] [?] [?]. Na pozostałe dwa miejsca możemy dać każdą cyfrę oprócz piątki. Mamy więc: 1 * 9 * 9 = 81 opcji.
Sytuacja 2: Piątka jest w środku [?] [5] [?]. Na początku nie może być 0 ani 5 (czyli 8 opcji). Na końcu dowolna bez 5 (9 opcji). Mamy: 8 * 1 * 9 = 72 opcje.
Sytuacja 3: Piątka jest na końcu [?] [?] [5]. Logika taka sama jak wyżej. Mamy: 8 * 9 * 1 = 72 opcje.
Koniec: Dodajmy te trzy warianty: 81 + 72 + 72 = 225.
Zadanie 2: Parzyste ze zbioru {1, 2, 3, 4}
Zasada: Liczba jest parzysta, gdy jej ostatnia cyfra to 2 lub 4 (2 możliwości).
Pierwsze dwa miejsca: Tutaj może stać dowolna cyfra ze zbioru (4 opcje na każde miejsce).
Obliczenie: Pomnóżmy paczki opcji: 4 razy 4 razy 2.
Wynik: 32 liczby
Zadanie 3: Podzielne przez 5 lub 7 (do 2021)
Krok 1: Podzielne przez 5: 2021 : 5 = 404 całe liczby.
Krok 2: Podzielne przez 7: 2021 : 7 = 288 całych liczb.
Krok 3: Podzielne przez obie (czyli przez 35): 2021 : 35 = 57.
Krok 4: Dodajemy wyniki i odejmujemy te, które się powtarzają: 404 + 288 – 57.
Wynik: 635 liczb
Zadanie 4: Sześciocyfrowe na “3”, różne cyfry
Miejsce 1: Musi być 3 (tylko 1 opcja).
Ostatnie miejsce: Musi być parzysta {0, 2, 4, 6, 8}. Mamy 5 opcji.
Reszta (4 miejsca): Ponieważ cyfry się nie powtarzają, zostaje nam do wyboru 8 cyfr, potem 7, 6 i 5.
Obliczenie: 1 * 8 * 7 * 6 * 5 * 5.
Wynik: 8400 liczb
Zadanie 5: 9 książek na 2 półkach
Warianty półek: Możemy mieć (Półka 1: Biografie, Półka 2: Fantasy) LUB na odwrót. To są 2 opcje.
Mieszanie biografii: 4 książki ustawiamy na 4! (czyli 24) sposoby.
Mieszanie fantasy: 5 książek ustawiamy na 5! (czyli 120) sposobów.
Obliczenie: 2 * 24 * 120.
Wynik: 5760 sposobów
Zadanie 6: 2 kule innych kolorów
Pomysł: Liczymy pary z różnych kolorów i dodajemy do siebie.
Para Biała-Czarna: 7 * 2 = 14 opcji.
Para Biała-Zielona: 7 * 1 = 7 opcji.
Para Czarna-Zielona: 2 * 1 = 2 opcje.
Suma: 14 + 7 + 2 = 23.
Wynik: 23 wyniki
Zadanie 7: Liczby z {5, 6, 7, 8} podzielne przez 3
Zasada: Suma cyfr musi dzielić się przez 3 (3, 6, 9, 12, 15…).
Sprawdzamy pary:
(5,7) -> 12 (OK)
(7,8) -> 15 (OK).
(5,7) -> 12 (OK)
(7,8) -> 15 (OK).
Każda para daje 2 liczby: 57, 75 oraz 78, 87.
Wynik: 4 liczby
Zadanie 8: 9 kul w szufladach
Kule 1-4: Każda ma 3 wybory. 3 * 3 * 3 * 3 = 81.
Kule 5-9: Każda ma 2 wybory. 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Obliczenie: 81 * 32.
Wynik: 2592 rozmieszczenia
Zadanie 9: 200 losów, co najmniej 2 wygrane
Opcja 1: Dokładnie 2 wygrane i 1 przegrany.
171 * 181 = 30951.
171 * 181 = 30951.
Opcja 2: Same 3 wygrane.
969 opcji.
969 opcji.
Wynik: 30951 + 969.
Wynik: 31920 sposobów
Zadanie 10: Równanie z symbolem n
Uproszczenie: Równanie to: n + n * (n-1) / 2 = 36.
Pomnóżmy wszystko przez 2: 2n + n^2 – n = 72.
Uporządkuj: n^2 + n – 72 = 0.
Sprawdźmy liczbę 8: 64 + 8 = 72. Zgadza się!
Wynik: n = 8
