Pełny Trening: Funkcje i Logarytmy
Wszystkie zadania (1-9) z arkusza + grupa analogiczna
Zbiorem wartości funkcji \( f(x) = 2^x – 3 \) jest:
Rozwiązanie
Oblicz \( f(1/2) \) dla \( f(x) = 9^{-x} + 1 \).
Rozwiązanie
Liczba \( \log_3 \frac{1}{9} + \log_4 2 \) jest równa:
Rozwiązanie
Dane są liczby \( x = (6^{3/5})^{5/3} \), \( y = (6^{1/5})^{5/2} \). Prawdą jest, że:
Rozwiązanie
\( y = 6^{\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2}} = 6^{1/2} = \sqrt{6} \approx 2.45 \)
Zatem \( y < x \). Odp: **C**
Jeżeli wykres \( f(x) = 5^x \) przesuniemy o 3 jednostki w górę, otrzymamy:
Rozwiązanie
Liczba \( \log_4(\log_2(\log_9 81)) \) jest równa:
Rozwiązanie
Zadanie otwarte (0-2 pkt)
Przedstaw \( x \) w postaci potęgi o podstawie \( a=3 \):
\( x = \left[ (1/3)^{1-\sqrt{3}} \right]^{\sqrt{3}} \div (9^{\sqrt{3}+2})^{2-\sqrt{3}} \)
Rozwiązanie
2. Prawy człon: \( (3^2)^{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})} = 3^{2(4-3)} = 3^2 \)
3. Dzielenie: \( 3^{3-\sqrt{3}} \div 3^2 = 3^{3-\sqrt{3}-2} = \mathbf{3^{1-\sqrt{3}}} \)
Oblicz:
- \( \log_5 0,32 – 3 \log_5 2 \)
- \( \log_{1/2} \log_3 81 + 2 \log_2 \sqrt{2} \)
- \( 16^{\log_4 (2/5)} \)
Rozwiązanie
a) \( \log_5 0,32 – \log_5 8 = \log_5 \frac{0,32}{8} = \log_5 0,04 = \log_5 \frac{1}{25} = \mathbf{-2} \)
b) \( \log_{1/2} 4 + \log_2 (\sqrt{2})^2 = -2 + 1 = \mathbf{-1} \)
c) \( (4^2)^{\log_4 (2/5)} = 4^{\log_4 (2/5)^2} = (2/5)^2 = \frac{4}{25} = \mathbf{0,16} \)
Naszkicuj wykres \( f(x) = \log_4(x-2) \). Odczytaj własności.
Rozwiązanie
1. Wykres \( \log_4 x \) przesunięty o 2 w prawo.
- Dziedzina: \( D = (2, +\infty) \)
- Zbiór wartości: \( ZW = \mathbb{R} \)
- Miejsce zerowe: \( x=3 \) (bo \( \log_4 1 = 0 \))
- Asymptota pionowa: \( x = 2 \)
Zbiorem wartości funkcji \( f(x) = 3^x + 4 \) jest:
Rozwiązanie
Oblicz \( f(1/2) \) dla \( f(x) = 16^{-x} + 3 \).
Rozwiązanie
Liczba \( \log_2 \frac{1}{8} + \log_9 3 \) jest równa:
Rozwiązanie
Porównaj \( x = (5^{2/3})^{3/2} \) oraz \( y = (5^{1/3})^{3/4} \).
Rozwiązanie
Jeżeli wykres \( f(x) = 3^x \) przesuniemy o 2 jednostki w dół, otrzymamy:
Rozwiązanie
Liczba \( \log_2(\log_3(\log_4 64)) \) jest równa:
Rozwiązanie
Zapisz jako potęgę o podstawie 2:
\( x = \left[ (1/2)^{2-\sqrt{2}} \right]^{\sqrt{2}} \div (4^{\sqrt{2}+1})^{1-\sqrt{2}} \)
Rozwiązanie
2. \( (2^2)^{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = 2^{2(1-2)} = 2^{-2} \)
3. \( 2^{2-2\sqrt{2}} \div 2^{-2} = 2^{2-2\sqrt{2}+2} = \mathbf{2^{4-2\sqrt{2}}} \)
Oblicz:
- \( \log_2 4,8 – \log_2 0,6 \)
- \( \log_{1/3} \log_2 8 + 3 \log_3 \sqrt{3} \)
- \( 25^{\log_5 (3/4)} \)
Rozwiązanie
a) \( \log_2 (4,8 / 0,6) = \log_2 8 = \mathbf{3} \)
b) \( \log_{1/3} 3 + \log_3 (\sqrt{3})^3 = -1 + 1,5 = \mathbf{0,5} \)
c) \( (5^2)^{\log_5 (3/4)} = (3/4)^2 = \frac{9}{16} = \mathbf{0,5625} \)
Naszkicuj wykres \( f(x) = \log_2(x+3) \). Odczytaj własności.
Rozwiązanie
1. Wykres \( \log_2 x \) przesunięty o 3 w lewo.
- Dziedzina: \( D = (-3, +\infty) \)
- Zbiór wartości: \( ZW = \mathbb{R} \)
- Miejsce zerowe: \( x = -2 \) (bo \( \log_2 1 = 0 \))
- Asymptota pionowa: \( x = -3 \)
