Zbiór Rozwiązań: Potęgi i Logarytmy
Zestaw A • Matematyka • Pełna Analiza Krok po Kroku
Zadanie 1. Postać potęgi o podstawie 4
Przedstaw liczbę \( \frac{(\frac{1}{8})^{3} : (2\sqrt{2})^{6}}{16^{-6}} \) w postaci potęgi o podstawie 4.
Analiza i rozwiązanie:
Aby przedstawić wynik w postaci potęgi liczby 4, najpierw sprowadzamy wszystkie elementy do wspólnej bazy, którą jest 2.
Podstawiamy do głównego ułamka:
Ostatni krok to zamiana bazy z 2 na 4:
Wynik: \( 4^3 \)
Zadanie 2. Porządkowanie liczb
Uporządkuj liczby \( a=(\frac{1}{27})^{-7}, b=(3\sqrt{3})^{15}, c=(\frac{\sqrt{3}}{3})^{-40} \) malejąco.
Analiza i rozwiązanie:
Sprowadzamy wszystkie liczby do wspólnej podstawy \( 3 \):
- \( a = (3^{-3})^{-7} = 3^{21} \)
- \( b = (3 \cdot 3^{1/2})^{15} = (3^{3/2})^{15} = 3^{22,5} \)
- \( c = (3^{1/2} \cdot 3^{-1})^{-40} = (3^{-1/2})^{-40} = 3^{20} \)
Porównujemy wykładniki: \( 22,5 > 21 > 20 \). Zatem kolejność to \( b, a, c \).
Wynik: \( b > a > c \)
Zadanie 6. Wykres funkcji wykładniczej
Naszkicuj wykres funkcji \( f(x)=-2^{4-x}+3 \).
Analiza matematyczna:
Funkcja dąży do asymptoty \( y = 3 \) dla \( x \to \infty \). Wyliczmy punkty charakterystyczne:
Wykres interaktywny: Najedź na linię, aby zobaczyć dokładne wartości.
Zadanie 11. Dziedzina logarytmu
Dla jakich \( x \) wyrażenie \( \log_{3}(x^{2}-4) \) ma sens?
Analiza i rozwiązanie:
Dziedzina logarytmu wymaga, aby liczba logarytmowana była większa od zera:
Miejsca zerowe to \( -2 \) oraz \( 2 \). Ramiona paraboli skierowane są do góry, więc wartości dodatnie są na zewnątrz przedziału.
Wynik: \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \)
Zadanie 13. Rozpad promieniotwórczy
Z 320 mg pierwiastka po 20 dniach pozostało 10 mg. Oblicz okres połowicznego rozpadu \( T \).
Rozwiązanie:
Wynik: \( T = 4 \) dni.
